Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Квадрат тэгшитгэл зохиох.

Өгсөн хоёр шийдээр нь квадрат тэгшитгэл зохио.
1. $3$, $-5$
2. $2+\sqrt{3}$, $2-\sqrt{3}$
3. $3+5i$, $3-5i$
$x^2-2x+5=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $\alpha$, $\beta$ бол дараах тоонууд шийд нь болох квадрат тэгшитгэл зохио.
1. $2\alpha-1$, $2\beta-1$
2. $\alpha^2$, $\beta^2$
3. $\dfrac1\alpha$, $\dfrac1\beta$.
Нийлбэр, үржвэр нь мэдэгдэж байгаа үед уг тоонуудыг ол.
1. Нийлбэр нь 7, үржвэр нь 3
2. Нийлбэр нь 1, үржвэр нь 1

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $x^2-2x+5=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $\alpha$, $\beta$ бол дараах тоонууд шийд нь болох квадрат тэгшитгэл зохио.

$\alpha+\beta=2$, $\alpha\beta=5$

Бодолт:

1. $(x-3)(x+5)=x^2+2x-15=0$
2. $(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})=(x-2)^2-(\sqrt{3})^2=x^2-4x+1=0$
3. $(x-3-5i)(x-3+5i)=(x-3)^2-(5i)^2=x^2-6x+34=0$
Виетийн теоремоор $\alpha+\beta=2$, $\alpha\beta=5$ байна.
1. $$\left\{\begin{array}{c} (2\alpha-1)+(2\beta-1)=2(\alpha+\beta)-2=2\cdot2-2=2\\ (2\alpha-1)\cdot(2\beta-1)=4\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+1=4\cdot 5-2\cdot 2+1=17 \end{array}\right.$$ тул $x^2-2x+1=17$ байна.
2. $$\left\{\begin{array}{c} \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=2^2-2\cdot 5=-6\\ \alpha^2\cdot\beta^2=5^2=25 \end{array}\right.$$ тул $x^2+6x+25=0$ байна.
3. $$\left\{\begin{array}{c} \dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{2}{5}\\ \dfrac{1}{\alpha}\cdot\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{1}{5} \end{array}\right.$$ тул $x^2-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{5}=0$ буюу $5x^2-2x+1=0$ байна.
1. $x^2-7x+3=0$ тэгшитгэлийн шийд буюу $\dfrac{7+\sqrt{37}}{2}$, $\dfrac{7-\sqrt{37}}{2}$.
2. $x^2-x+1=0$ тэгшитгэлийн шийд буюу $\dfrac{1+\sqrt3i}{2}$, $\dfrac{1-\sqrt3i}{2}$.