Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Хамгийн бага утга
$x^2+y^2=1$ тойрог $px+qy=1$ $(p>0, q>0)$ шулуунтай I мөчид шүргэлцдэг бол шулууны I мөчид орших хэсгийг ординат тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биеийн эзлэхүүний хамгийн бага утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $px+qy=1$ шулуун $x^2+y^2=1$ тойрогтой шүргэлцэхийн тулд
$$\dfrac{|p\cdot 0+q\cdot 0-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=1$$
байна. Эндээс $p^2+q^2=1$ болно. Түүнчлэн уг шулуун координатын тэнхлэгүүдийг $\left(1/p, 0\right)$, $\left(0, 1/q\right)$ цэгүүдээр огтлоно. Эргэлтээр үүсэх конусын эзлэхүүн
$$V=\dfrac 13\pi r^2h=\dfrac 13\pi\cdot \left(\dfrac 1p\right)^2\cdot\dfrac 1q$$
болно. $p^2=1-q^2$ тул $V=\dfrac 13\cdot\pi\cdot \dfrac 1{q(1-q^2)}$
байна. $0
Иймд $q=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $p=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ үед эзлэхүүн хамгийн бага $V=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ байна.
| $0< q< 1/\sqrt3$ | $q=1/\sqrt3$ | $1/\sqrt3< q< 1$ | |
| $u^\prime $ | $+$ | 0 | $-$ |
| $u$ | $\nearrow$ | $\max$ | $\searrow$ |
Иймд $q=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $p=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ үед эзлэхүүн хамгийн бага $V=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ байна.