Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $$P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d\qquad(*)$$ ба $\omega_1$, $\omega_2$ нь $x^2+x+1$ олон гишүүнтийн язгуурууд гэе. Тэгвэл $\omega_1^3=\omega_2^3=1$ ба $\omega_1^2=\omega_2$, $\omega_2^2=\omega_1$ байдаг.

$P(x)=(x^2+1)Q_1(x)+3x+2$ тул $P(i)=3i+2$, $P(-i)=-3i+2$ байна. Эдгээрийг $(*)$-д орлуулж бодвол \[\left\{\begin{array}{c} ai^3+bi^2+ci+d=3i+2\\ a(-i)^3+b(-i)^2+c(-i)+d=-3i+2\\ \end{array}\right.\] болох ба эндээс \[\left\{\begin{array}{c} -b+d=2\\ -a+c=3\\ \end{array}\right.\] болно.

$P(x)=(x^2+x+1)Q_2(x)+2x+3$ тул $P(\omega_1)=2\omega_1+3$, $P(\omega_2)=2\omega+3$ байна. Эдгээрийг $(*)$-д орлуулж бодвол \[\left\{\begin{array}{c} a\omega_1^3+b\omega_1^2+c\omega_1+d=2\omega_1+3\\ a\omega_2^3+b\omega_2^2+c\omega_2+d=2\omega_2+3\\ \end{array}\right.\] буюу \[\left\{\begin{array}{c} a+b\omega_2+c\omega_1+d=2\omega_1+3\\ a+b\omega_1+c\omega_2+d=2\omega_2+3\\ \end{array}\right.\] болно. Тэгшитгэлүүдийг нэмж $\omega_1+\omega_2=-1$ болохыг тооцвол $2a-b-c+2d=4\quad(**)$ байна. Тэгшитгэлүүдийг хасаад $\omega_1-\omega_2\neq 0$ тоонд хуваавал $-b+c=2$ болно.

$d=b+2$, $a=c-3$-ийг $(**)$-д оруулбал $$2(c-3)-b-c+2(b+2)=4\Rightarrow b+c=6$$ \[\left\{\begin{array}{c} -b+c=2\\ b+c=6\\ \end{array}\right.\Rightarrow c=4, b=2\] ба эндээс $a=1$, $d=4$ болно.

$P$ хамгийн бага зэрэгтэй тул $Q=0$ гэж үзэж болно. Иймд $$P(x)=x^3+2x^2+4x+4$$