Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$a, b, c$ нь бодит тоонууд ба $ax^2+2bx+c=0$, $bx^2+2cx+a=0$ квадрат тэгшитгэлүүд бодит шийдгүй бол дараах тэгшитгэлүүд бодит шийдтэй юу?

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ болохыг ашиглаарай.

Бодолт:

Өгсөн нөхцөлөөс $$4b^2-4ac<0, 4c^2-4ba<0\Leftrightarrow b^2\le ac, c^2\le ba$$ байна. Хэрвээ $cx^2+2ax+b=0$ тэгшитгэл шийдгүй гэвэл $4a^2-4cb<0$ болох ба эндээс $a^2 < cb$ болно. Гэвч тэнцэтгэл бишүүдийг нэмбэл $$a^2+b^2+c^2 < ab+bc+ca$$ болж зөрчил үүснэ. Иймд $4a^2-4cb\ge 0$ буюу $cx^2+2ax+b=0$ тэгшитгэл шийдтэй байна.
Хэрвээ $-4a^2+4bc\ge 0$ гэвэл $4a^2<4bc$ ба бодлогын нөхцөлөөс $4b^2<4ac$, $4c^2<4ab$ байх тул $$4a^2+4b^2+4c^2<4ab+4bc+4ca$$ болоход хүрнэ. Иймд $-4a^2+4bc<0$ байна. $(a+b)x^2+2(b+c)x+c+a=0$ тэгшитгэлийн дисреминант нь \begin{align*} D&=4(b+c)^2-4(a+b)(c+a)\\ &=4b^2+8bc+4c^2-4a^2-4ab-4ac-4bc\\ &=(4b^2-4ac)+(4c^2-4ab)+(-4a^2+4bc) \end{align*}

Нэмэгдэхүүн бүр нь сөрөг тоо тул $D<0$ болж тэгшитгэл шийдгүй болов.