Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$2x^2-4x+5=0$ шийдүүд нь $\alpha, \beta$ бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: Виетийн теоремоор $\alpha+\beta=-\dfrac{-4}{2}=2$ ба $\alpha\cdot \beta=\dfrac 52$ болно.

Бодолт:

$(\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+(\alpha+\beta)+1=2+\dfrac 52+1=\dfrac{11}{2}$;
$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=2^3-3\cdot \dfrac 52\cdot 2=-7$;
$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=2^2-2\cdot \dfrac 52=-1$ болохыг ашиглая. $$\alpha^5+\beta^5=(\alpha^2+\beta^2)(\alpha^3+\beta^3)-(\alpha\beta)^2\cdot(\alpha+\beta)=-1\cdot (-7)-\dfrac{25}{4}\cdot 2=-\dfrac{11}{2}$$
$(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=2^2-4\cdot \dfrac 52=-6$.