Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$3+\sqrt{2}$, $3-\sqrt{2}$ тоонууд шийд нь болох квадрат тэгшитгэл зохио.
$x^2+3x-6=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $\alpha$, $\beta$ бол $2\alpha+\beta$, $\alpha+2\beta$ тоонууд шийд нь болох квадрат тэгшитгэл зохио.
Нийлбэр нь 2, үржвэр нь 7 байх тоонуудыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$\alpha+\beta=(3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6$, $\alpha\cdot \beta=(3+\sqrt{2}) (3-\sqrt{2})=9-2=7$ тул $x^2-6x+7=0.$
Олох тэгшитгэлийн язгууруудыг $\alpha_1, \beta_1$ гэвэл $\alpha+\beta=-3$, $\alpha\beta=-6$ гэдгээc \begin{align*} \alpha_1+\beta_1&=(2\alpha+\beta)+(\alpha+2\beta)=3\alpha+3\beta=3\cdot(-3)=-9\\ \alpha_1\cdot \beta_1&=(2\alpha+\beta)\cdot (\alpha+2\beta)=2\alpha^2+4\alpha\beta+\beta\alpha+2\beta^2\\ &=2(\alpha+\beta)^2+\alpha\beta=2\cdot(-3)^2+(-6)=12 \end{align*} $\alpha_1+\beta_1=-9, \alpha_1\cdot \beta_1=12$ тул $x^2+9x+12=0.$
$\bigg\{\begin{array}{c} \alpha+\beta=2\\ \alpha\cdot\beta=7 \end{array}$ тул $\alpha, \beta$ нь $x^2-2x+7=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд болно.

$$\alpha=1+\sqrt{6}i, \beta=1-\sqrt{6}i.$$