Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Модультай тригонометр тэгшитгэл
$1+2|\sin x|=2\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\pm\arcsin\dfrac{\sqrt5-1}4+\pi n$
B. $(-1)^n\arcsin\dfrac{\sqrt5-1}4+\pi n$
C. $\pm\arcsin\dfrac{\sqrt5-1}4+2\pi n$
D. $\pm\arccos\dfrac{\sqrt5-1}4+\pi n$
E. $\varnothing$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 25.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\cos 2x=1-2\sin^2x$ болохыг ашиглан $s=\sin x$ орлуулга ашиглан бод.
Бодолт: $s=\sin x$ гэвэл $|s|\le 1$ ба
$$1+2|s|=2(1-2s^2)$$
болно. Хэрвээ $0\le s\le 1$ бол
$$1+2s=2-4s^2\Leftrightarrow 4s^2+2s-1=0$$
тул $$s=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 4\cdot(-1)}}{8}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$$
ба $0\le s$ тул $s=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ байна. Иймд
$$x=(-1)^n\arcsin\dfrac{\sqrt5-1}4+\pi n$$
шийд олдож байна. Харин $-1\le s<0$ бол
$$1-2s=2-4s^2\Leftrightarrow 4s^2-2s-1=0$$
тул $$s=\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 4\cdot(-1)}}{8}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{4}$$
ба $s<0$ тул $s=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ байна. Иймд
$$x=(-1)^n\arcsin-\dfrac{\sqrt5-1}4+\pi n$$
шийд олдож байна. $\arcsin$ функц сондгой болохыг ашиглаад шийдүүдээ нэгтгэж бичвэл $$x=\pm\arcsin\dfrac{\sqrt5-1}4+\pi n$$