Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Виетийн теорем
$x^3+3x^2-x+1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $ \alpha$, $\beta$, $\gamma$ бол $(\alpha+1)$, $(\beta+1)$, $(\gamma+1)$ шийдүүдтэй тэгшитгэл зохио.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: Виетийн теоремоор
$$\left\{\begin{array}{c} \alpha+\beta+\gamma=-3 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha =-1 \\ \alpha\beta\gamma=-1 \\ \end{array}\right.$$ болно. $$(\alpha+1)+(\beta+1)+(\gamma+1)=\alpha+\beta+\gamma+3=-3+3=0.$$
$$\begin{aligned}(\alpha+1)(\beta+1)&+(\beta+1)(\gamma+1)+(\gamma+1)(\alpha+1)=(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+\\ &+2(\alpha+\beta+\gamma)+3=-1+2\cdot (-3)+3=-4\end{aligned}$$ $x^3+3x^2-x+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ тэнцэлд $x=-1$ гэвэл $(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=-(-1+3+1+1)=-4$ байна. Иймд $\alpha+1$, $\beta+1$, $\gamma+1$ шийдүүдтэй тэгшитгэл $$x^3-4x+4=0$$ болно.
$$\left\{\begin{array}{c} \alpha+\beta+\gamma=-3 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha =-1 \\ \alpha\beta\gamma=-1 \\ \end{array}\right.$$ болно. $$(\alpha+1)+(\beta+1)+(\gamma+1)=\alpha+\beta+\gamma+3=-3+3=0.$$
$$\begin{aligned}(\alpha+1)(\beta+1)&+(\beta+1)(\gamma+1)+(\gamma+1)(\alpha+1)=(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+\\ &+2(\alpha+\beta+\gamma)+3=-1+2\cdot (-3)+3=-4\end{aligned}$$ $x^3+3x^2-x+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ тэнцэлд $x=-1$ гэвэл $(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=-(-1+3+1+1)=-4$ байна. Иймд $\alpha+1$, $\beta+1$, $\gamma+1$ шийдүүдтэй тэгшитгэл $$x^3-4x+4=0$$ болно.