Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x^2-x-1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $\alpha$, $\beta$ $(\alpha>\beta)$ ба $n$-натурал тоо бол

$\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}=\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}+\alpha^n-\beta^n$ болохыг батал.
$\alpha^7-\beta^7$ утгыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $\alpha^2-\alpha-1=0$, $\beta^2-\beta-1=0$ байна.

Бодолт:

$\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}-(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})-(\alpha^n-\beta^n)=(\alpha^{n+2} -\alpha^{n+1}-\alpha^n)-(\beta^{n+2}-\beta^{n+1}-\beta^n)$ $=\alpha^n (\alpha^2-\alpha-1)-\beta^n (\beta^2-\beta-1)=0$ болж батлагдав.
$x^2-x-1=0$ $\Rightarrow$ $x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$, $\alpha>\beta$ учир $\alpha-\beta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.$ $\alpha^2-\beta^2-(\alpha-\beta)=0$ $\Rightarrow$ $ \alpha^2-\beta^2=\alpha-\beta=\sqrt{5}.$ $S_n=\alpha^n-\beta^n$ гэе. (a) бодлого ёсоор $S_{n+2}=S_{n+1}+S_n$ болно. $$\begin{aligned} S_3&=S_2+S_1=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\\ S_4&=S_3+S_2=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\\ S_5&=S_4+S_3=3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\\ S_6&=S_5+S_4=5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}\\ S_7&=\alpha^7-\beta^7=S_6+S_5=8\sqrt{5}+5\sqrt{5}=13\sqrt{5} \end{aligned}$$ тул $\alpha^7-\beta^7=13\sqrt{5}$ болно.