Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Олон гишүүнтийн хуваагдал (6)
$n$ эерэг бүхэл тоо бол $x^n$-ийг $x^2+x+1$-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $x^2+x+1$-ийн нэг язгуур нь $\omega$ гэвэл $\omega^3=1$ байна гэдгийг ашигла.
Бодолт: $x^n=(x^2+x+1)\cdot Q(x)+ax+b$ гээд $a$, $b\in\mathbb R$-г олъё. $\omega^2+\omega+1=0$ гэвэл $\omega^n=a\omega+b$ болно. Түүнчлэн $\omega^3=1$ тул
- $n=3R$ бол $$\omega^n=\omega^{3R}=(\omega^3)^R=1=a\omega+b\Rightarrow a\omega=1-b$$ $\omega$ комплекс тоо учир $a=0$, $b=1$ буюу үлдэгдэл нь $ax+b=1$ болно.
- $n=3R+1$ бол $$\omega^n=\omega^{3R+1}=(\omega^3)^R\cdot\omega=\omega=a\omega+b$$ буюу $(1-a)\omega=b$ тул $a=1, b=0$ буюу үлдэгдэл нь $ax+b=x$ болно.
- $n=3R+2$ бол $$\omega^n=\omega^{3R+2}=(\omega^3)^R\cdot\omega^2=-\omega-1\Rightarrow-\omega-1=a\omega+b$$ $(a+1)\omega=-(b+1)$ буюу $a=-1$, $b=-1$. Иймд үлдэгдэл нь $ax+b=-x-1$ болно.
Сорилго
hw-81-2017-02-18
Японы ном, Куб тэгшитгэл ба Виетийн теорем
Оллон гишүүнт
алгебр
алгебрийн илэрхийлэл
алгебрийн илэрхийлэл тестийн хуулбар