Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №10114
$n\in\mathbb N$, $0< a< 1$ гэе. $x=\dfrac12(a^{\frac1n}+a^{-\frac1n})$ үед $(x+\sqrt{x^2-1})^n$-ыг хялбарчил.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $x+\sqrt{x^2-1}$ илэрхийллийг хялбарчил.
Бодолт: $x=\dfrac12(a^{\frac1n}+a^{-\frac1n})$ бол $x^2-1=\dfrac14(a^{\frac2n}+a^{-\frac2n}+2)-1=$
$\dfrac14(a^{\frac2n}+a^{-\frac2n}-2)=\dfrac14(a^{\frac1n}-a^{-\frac1n})^2$ байна.
$0< a< 1$ үед $a^x$ нь буурах функц ба $-\dfrac1n<\dfrac1n$ тул $a^{\frac1n}< a^{-\frac1n}$ байна. Иймд $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\dfrac14(a^{\frac1n}-a^{-\frac1n})^2}=\dfrac12|a^{\frac1n}-a^{-\frac1n}|=\dfrac12(a^{-\frac1n}-a^{\frac1n})$ тул $x+\sqrt{x^2-1}=\dfrac12(a^{\frac1n}+a^{-\frac1n})+\dfrac12(a^{-\frac1n}-a^{\frac1n})=a^{-\frac1n}$.
Иймд $(x+\sqrt{x^2-1})^n=(a^{-\frac1n})^n=a^{-\frac1n\cdot n}=a^{-1}$.
$0< a< 1$ үед $a^x$ нь буурах функц ба $-\dfrac1n<\dfrac1n$ тул $a^{\frac1n}< a^{-\frac1n}$ байна. Иймд $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\dfrac14(a^{\frac1n}-a^{-\frac1n})^2}=\dfrac12|a^{\frac1n}-a^{-\frac1n}|=\dfrac12(a^{-\frac1n}-a^{\frac1n})$ тул $x+\sqrt{x^2-1}=\dfrac12(a^{\frac1n}+a^{-\frac1n})+\dfrac12(a^{-\frac1n}-a^{\frac1n})=a^{-\frac1n}$.
Иймд $(x+\sqrt{x^2-1})^n=(a^{-\frac1n})^n=a^{-\frac1n\cdot n}=a^{-1}$.