Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Тойрог ба шулууны огтлолцлын цэг

$C\colon x^2+y^2=4$ тойрог, $\ell\colon ax-y-4a+2=0$ шулуун хоёр 2 цэгээр огтлолцох $a$ параметрийн утгын муж нь $\fbox{a}< a<\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ байна.

abc = 043

Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 36.67%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар: Тойрог шулуун хоёр 2 цэгээр огтлолцох бол тойргийн төвөөс шулуун хүртэлх зай уг тойргийн радиусаас бага байна. Урвуу нь мөн хүчинтэй өөрөөр хэлбэр тойргийн төвөөс шулуун хүртэлх зай нь радиусаас бага бол тойрог шулуун хоёр 2 цэгээр огтлолцоно.

Мөн тэгшитгэлийн системийн шийд нь огтлолцлын цэгийн координат болох тул тэгшитгэлийн шийдийн тоогоор ч бодож болно.
Бодолт: I арга. $C$ тойргийн радиус 2, тойргийн төв $(0, 0)$ ба $\ell$-шулууны хоорондох зайг $d$ гэвэл $d=\dfrac{|-4a+2|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}$ юм. $C$ тойрог, $\ell$ шулуун хоёр цэгээр огтлолцох $\Longleftrightarrow$ $d< 2$ учраас $\dfrac{|-4a+2|}{\sqrt{a^2+1}}< 2.$ $\sqrt{a^2+1}>0$ байх тул ${|-2a+1|< \sqrt{a^2+1}.}$ $|-2a+1|\geq 0\Longrightarrow$ $(-2a+1)^2< a^2+1$ буюу $a(3a-4)< 0$ тул $0< a< \dfrac43.$

II арга. $\ell: y=a(x-4)+2$-ийг $x^2+y^2=4$-т орлуулбал $$x^2+(ax-4a+2)^2=4\Rightarrow(a^2+1)x^2-4(2a-1)ax+16a^2-16a=0$$ болох ба дээрх квадрат тэгшитгэлийн дискриминант $D>0$ үед хоёр цэгээр огтлолцох тул $$D=\dfrac{4(2a-1)^2-(a^2+1)(16a^2-16a)}{4}=-a(3a-4)>0$$ буюу $$0< a< \dfrac43$$

Сорилго

2016-05-12  Математик ЭЕШ 

Түлхүүр үгс