Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$2(\log_2x)^2+3\log_24x< 8$ тэнцэтгэл бишийг бод.
$x\geq 2, y\geq 2, xy=16$ бол $(\log_2x)\cdot (\log_2y)$-ийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

Тодорхойлогдох муж нь $x>0$ байна. $2(\log_2x)^2+3\cdot (\log_24+\log_2x)-8< 0$ буюу $2(\log_2x)^2+3\log_2x-2< 0 \Rightarrow (\log_2x+2)(2\log_2x-1)< 0.$ Эндээс $ -2< \log_2x< \dfrac12$ тул $ \dfrac14< x< \sqrt{2}$ байна.
$x\geq 2, y\geq 2, xy=16$ учир $$\log_2x\geq 1, \log_2y\geq 1, \log_2x+\log_2y=4 \Rightarrow \log_2x=4-\log_2y\le3$$ буюу $1\leq \log_2x\leq 3$ байна. $$P=(\log_2x)(\log_2y)=-(\log_2x)^2+4\log_2x=4-(\log_2x-2)^2$$ тул $\log_2x=2$ буюу $x=4$ үед $P_{\max}=4$ болно. Харин $\log_2x=1\lor 3$ буюу $x=2\lor 8$ үед $P_{\min}=3$ байна.

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.