Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Илэрхийлэл хялбарчлах ба адилтгал батлах
- $\dfrac{\sin \theta}{1+\cos\theta}+\dfrac 1{\tg\theta}=\dfrac 1{\sin \theta}$ адитгалыг батал.
- $\sin \theta+\cos \theta=\dfrac 13$ бол $\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$-ийн утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\sin \theta=s$, $\cos \theta=c$ гэж орлуулаад $s^2+c^2=1$-ийг ашигла. Мөн $\tan \theta$-ийг $\sin \theta$, $\cos \theta$-өөр илэрхийлж зүүн гар талын илэрхийллийг хувирга.
${A=B}$ адилтгалыг батлахдаа ${A-B}$ илэрхийллийг хувиргаж 0 болгож батладаг.
Бодолт: (А) $\sin \theta=s$, $\cos \theta=c$ гэе.
$$\dfrac{s}{1+c}+\dfrac cs=\dfrac{s^2+c+c^2}{(1+c)\cdot s}=\dfrac{(s^2+c^2)+c}{(1+c)\cdot s}=\dfrac{1+c}{(1+c)\cdot s}=\dfrac 1{s}$$
(В) $s+c=\dfrac 13$ учраас хоёр талыг нь квадрат зэрэгт дэвшүүлж $s\cdot c$-ийг олбол $s^2+2s\cdot c+c^2=\dfrac 19$, $1+2sc=\dfrac 19$, $s\cdot c=-\dfrac 49$ болно. $s^3+c^3$-ийг кубүүдийн нийлбэрийн томъёогоор үржигдэхүүн болгон задлавал $$s^3+c^3=(s+c)(s^2-s\cdot c+c^2)=\dfrac 13\left(1-\left(-\dfrac 49\right)\right)=\dfrac{13}{27}.$$
$$\dfrac{s}{1+c}+\dfrac cs=\dfrac{s^2+c+c^2}{(1+c)\cdot s}=\dfrac{(s^2+c^2)+c}{(1+c)\cdot s}=\dfrac{1+c}{(1+c)\cdot s}=\dfrac 1{s}$$
(В) $s+c=\dfrac 13$ учраас хоёр талыг нь квадрат зэрэгт дэвшүүлж $s\cdot c$-ийг олбол $s^2+2s\cdot c+c^2=\dfrac 19$, $1+2sc=\dfrac 19$, $s\cdot c=-\dfrac 49$ болно. $s^3+c^3$-ийг кубүүдийн нийлбэрийн томъёогоор үржигдэхүүн болгон задлавал $$s^3+c^3=(s+c)(s^2-s\cdot c+c^2)=\dfrac 13\left(1-\left(-\dfrac 49\right)\right)=\dfrac{13}{27}.$$