Заавар.

Бодолт. Tухайн үед хамгийн олон тоглолт хийсэн сурагчийг $x$, түүний тоглолтын тоог $k$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл $x$ сурагчтай тоглосон, тоглолтын тоо нь яг $k$ байх $y$ сурагч олдох бөгөөд бодлогын нөхцөлөөс $x$ ба $y$-н хоёулантай нь тоглосон сурагч олдохгүй. Иймд нийт сурагчдын тоо $2\,k$-оос багагүй болох тул $k\leq 26$ байна. Мэдээж $x$ сурагчтай тоглосон сурагчдын тоглолтын тоо нь $1, 2, \ldots, k$, мөн $y$ сурагчтай тоглосон сурагчдын тоглолтын тоо нь $1, 2, \ldots, k$ байна. Иймээс тэмцээнд оролцсон сурагчдын оноог үл буурах эрэмбээр нь бичвэл $$\underbrace{1, 1, \ldots, 1}_{n_1},\,\, \underbrace{2, 2, \ldots, 2}_{n_2},\,\, \ldots,\,\, \underbrace{k, k, \ldots, k}_{n_k}$$ болох ба энд $$n_i\geq 2\,(1\leq i \leq k),~~k\leq 26,~~~ n_1+n_2+\cdots+n_k=52\qquad(*)$$ байна. Тэгвэл энэ явц дахь нийт тоглолтын тоо нь $$1\cdot n_1+2\cdot n_2+\cdots+k\cdot n_k$$ нийлбэрийн хагастай тэнцүү бөгөөд $(*)$ нөхцөлөөс дээрх нийлбэр нь хамгийн их утгаа $n_i=2\,(1\leq i \leq k)$ ба $k=26$ үед авдаг болохыг хялбархан харж болно. Иймд нийт тоглолтын тоо нь хамгийн ихдээ 351 гэж гарна. Одоо бодлогын нөхцөлийг хангах $351$ тоглолт болсон графыг байгуулъя. Үүний тулд сурагчдаа $x_1, x_2, \dots, x_{26}$ ба $y_1, y_2, \dots, y_{26}$ хоёр хэсэгт хуваая. Хэсэг тус бүрийн сурагчид хоорондоо тоглоогүй ба $x_i$, $y_j$ сурагчид зөвхөн $i+j>26$ байхад тоглосон бол сурагч бүрийн тоглосон сурагчдын тоглолтын тоо нь ялгаатай бөгөөд нийт тоглолтын тоо нь $351$ болж бодлого бодогдов.

Заавар.

Бодолт. Батлах тэнцэтгэл бишийг \[ \sum \frac{(a + b)(a + b + c)}{2ab + 1} \ge 6 \] буюу \[ \sum \frac{(a + b)^{2}}{2 ab + 1} + \sum \frac{c(a + b)}{2ab + 1} \ge 6 \] гэж бичье. Коши-Буняковскийн тэнцэтгэл биш хэрэглэвэл \[ \sum \frac{(a + b)^{2}}{2 ab + 1} \ge \frac{\big(\sum (a + b)\big)^{2}}{\sum (2ab + 1)} = \frac{36}{3 + 2\sum ab} \] болно. Нөгөө талаас бид $a \ge b \ge c$ гэж үзэж болох ба энэ үед $c(a + b) \le b(c + a) \le a(b + c)$ ба $\frac{1}{2ab + 1} \le \frac{1}{2ca + 1} \le \frac{1}{2bc + 1}$ болох тул Чебышевийн тэнцэтгэл биш болон Коши-Буняковскийн тэнцэтгэл биш хэрэглэвэл \begin{align*} \sum\frac{c(a + b)}{2ab + 1} &\ge \frac{1}{3} \left(\sum c(a + b)\right)\left(\sum \frac{1}{2ab + 1}\right)\\ &\ge \frac{2}{3}\left(\sum ab\right)\frac{9}{\sum (2ab + 1)} = \frac{6\sum ab}{3 + 2 \sum ab} \end{align*} болно. Иймд \[ \frac{36 + 6 \sum ab}{3 + 2\sum ab} \ge 6 \] гэж баталбал бодлого бодогдоно. Сүүлийн тэнцэтгэл бишийг эквивалентаар хувиргавал \[ ab + bc + ca \le 3 \] болох ба энэ нь Кошийн тэнцэтгэл биш ашиглаад батлагдана. Тэнцэтгэл биш $a = b = c = 1$ үед л тэнцэтгэл болно.