ММО-25, 9-р анги

Монголын математикийн 25-р олимпиад, 9-р анги, 1989 он.   

Бодлогын тоо: 6    Хугацаа: 540 мин


1. $\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1989}}$ тэгшитгэлийн бүх натурал шийдийг ол.


2. $ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр $X$ цэг авч түүнээс $BA$, $BC$ талууд дээр буулгасан перпендикуляруудын суурийг харгалзан $M$, $N$ гэе. $XMYN$ дөрвөн өнцөгт параллелограмм байх $Y$ цэгийг байгуулав.
  1. $BY\perp MN$ гэж батал.
  2. $X$ цэг $BC$ тал дээгүүр гүйхэд $Y$ цэгийн үүсгэх геометр байрыг ол.


3. $1$, $2$, $3$ цифрүүдийг ашиглан цифрүүдийн нийлбэр нь $25$ байх тоо хэдийг бичиж болох вэ?


4. Хэрэв эерэг $x$, $y$, $z$ гурван тоо $$xyz>5.14;\quad x+y+z<\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z$$ нөхцлүүдийг хангадаг бол эдгээрийн яг нэг нь нэгээс бага гэж батал.


5. Гурвалжны талбай $S=\dfrac34R^2\sin2\gamma$ байдаг бол түүнийг багтаасан $R$ радиустай тойрог гурвалжны $\gamma$ өнцгийн оройг өндрүүдийн огтлолцолтой холбосон хэрчмийн дунджийг дайрна гэж батал.


6. $A_1,A_2,\dots,A_7$ гэсэн ялгаатай долоон цэг тойрог дээр өгөгдөв. Аливаа ялгаатай $A_iA_j$ хос цэгийг $\overrightarrow{A_iA_j}$ эсвэл $\overrightarrow{A_jA_i}$ вектороор холбоё.
  1. Нийт хэчнээн ялгаатай холболт байх вэ?
  2. Цэг бүрээс яг гурван вектор эхлэлтэй байх хэчнээн ялгаатай холболт байх вэ?