ММО-38, 9-р анги

Монголын математикийн 38-р олимпиад, 9-р анги, 2002 он.   

Бодлогын тоо: 6    Хугацаа: 540 мин


1. $n\times n$ хүснэгтийн $k$ нүдийг хараар будав. Тэгвэл мөр эсвэл баганын будагдсан нүдний $50\%$-аас их нь будагдсан байвал тэр мөр эсвэл баганыг хараар будах үйлдэл зөвшөөрөгдөнө. Тэгвэл бүх хүснэгтийг хар болгож чадах $k$-ийн хамгийн бага утгыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $n^2-\Bigl[\frac{n+1}2\Bigr]^2$ ширхэг нүд нь будагдсан ба үйлдлээ хийгээд гүйцээж будаж болохгүй жишээг хялбар байгуулж болно. Одоо $S=n^2-\Bigl[\frac{n+1}2\Bigr]^2+1$ ширхэг нүдийг яаж ч будсан үргэлж гүйцээж будаж болно гэдгийг харуулъя. Эсрэгээс нь ямар нэг $S$ нүдийг будахад гүйцээж будаж болдоггүй байг. Тэгвэл бид хийж болох бүх үйлдлээ хийчихсэн гэвэл ямар нэг мөр эсвэл баганы $\Bigl[\frac{n+1}2\Bigr]$-ээс багагүй нь будагдаагүй байна. Түүнийгээ мөр гээд үзээд явцуурах зүйл байхгүй. Тэгвэл энэ мөрийн будагдаагүй нүднүүдийн орших баганууд нь мөн $\Bigl[\frac{n+1}2\Bigr]$-ээс багагүй нь будагдаагүй багана байна. Иймд нийт будагдаагүй нүдний тоо $\Bigl[\frac{n+1}2\Bigr]^2$-аас багагүй байна. Будагтай нүд будагдаагүй нүд хоёрын нийлбэр $n^2-\Bigl[\frac{n+1}2\Bigr]^2+1+\Bigl[\frac{n+1}2\Bigr]^2=n^2+1$ болж зөрчилд оров.


2. Зөв $\triangle ABC$-ны дотор $P$ цэг өгөв. $AP\cdot AX+BP\cdot BX+CP\cdot CX$ илэрхийлэл хамгийн бага утгаа авах $X$ утгыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $P$ цэгийн $AB$, $BC$, $CA$ талуудын дундаж цэгийн хувьд тэгш хэмтэй орших цэгүүдийг харгалзан $C_1,A_1,B_1$ гэе.

$AC_1BX$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд Птолмейн тэнцэл биш бичвэл $C_1B\cdot AX+C_1A\cdot BX=AP\cdot AX+BP\cdot BX\ge AB\cdot XC_1$ болно. Үүнтэй адилаар бусад тэнцэл бишийг бичээд нэмбэл $$AP\cdot AX+BP\cdot BX+CP\cdot CX\ge AB\cdot XC_1+BC\!\cdot\! XA_1+AC\cdot XB_1=$$ $$=\frac12AB(XC_1+XB_1+XA_1)\qquad(1)$$ болохыг үзүүлж болно. $X$ цэг $A_1B_1C_1$ гурвалжны Торчиллийн цэг байх үед $(1)$ тэнцэл бишийн зүүн тал хамгийн бага утгаа авна. Энэхүү бодолт нь өгөгдсөн нийлбэрийг доороос нь үнэлж байгаа боловч $X$ цэгийг олоогүй бодолт юм.


3. $\dfrac{1+2^{2m}+2^{2n}}{1+2^m+2^n}\in\mathbb N$ байх бүх натурал $(m,n)$ хос тоог ол.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $m\ge n$ гэе. $(1+2^n+2^m)^2-(1+2^{2n}+2^{2m})=2(2^n+2^m+2^{n+m})=2^{n+1}(1+2^{m-n}+2^m)$ байх учир $1+2^n+2^m~|~1+2^{m-n}+2^m$ болно. $2\cdot(2^m+2^{m-n}+1)>1+2^n+2^m$ учраас $2^m+2^{m-n}+1=2^m+2^n+1$ $\Leftrightarrow$ $2^{m-n}=2^n$ $\Leftrightarrow$ $m=2n$. Хариу $(n,2n)$, $n\in\mathbb N$.


4. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $J$, $AB$ талын гадуур багтсан тойргийн төв $J_3$, хүндийн төв $M$ болог. Хэрэв $2CJ=JJ_3$ бол $MJ\parallel AB$ гэж батал.

Заавар Бодолт
Заавар. $2CJ=JJ_3$ гэсэн ёсоор $CJ_3=CJ+JJ_3=3CJ$ болно. $J,J_3$ цэгээс $BC$ шулуунд буулгасан перпендикулярын суурийг харгалзуулан $D$, $E$ гэвэл $\triangle CDJ\sim\triangle CEJ_3$ болох тул

$\frac{CD}{CE}=\frac{CJ}{CJ_3}=\frac13$, $CD=p-c$, $CE=p$ байдаг тул $3(p-c)=p$ $\Rightarrow$ $2p=3c$ $\Rightarrow$ $p=\frac32c\quad(1)$.

Нөгөө талаас $S_{ABC}=3S_{MAB}$ байдгаас $pr=3cd$. үүнд $d$ нь $M$ цэгээс $AB$ талд буулгасан перпендикулярын урт буюу хүндийн төв $M$-ээс $AB$ тал хүртэлх зай $(1)$ ёсоор $\frac32cr=3\cdot\frac12cd$ буюу $d=r$. Ийнхүү $J,M$ хоёр цэг $AB$ шулуунаас ижил зайд байгаа болохоор $JM\parallel AB$.

Бодолт.


5. $a_k,b_k$ $(k=1,2,\dots,n)$ нь $a_k,b_k\in[2,3]$ ба $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n b_k$ байх бодит тоонууд бол $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{a_k^3}{b_k}\le\frac{97}{78}\sum_{k=1}^n a_k^2$ гэж батал. Тэнцэтгэлдээ хүрэх нөхцлийг тогтоо.


6. $\dfrac1{b_{n+1}}-\dfrac1{b_n}-\dfrac{b_{n-1}}{b_n^2}+3(b_{n-2}-b_{n-1})=0$, $b_0=1$, $b_1=1$, $b_2=\dfrac14$ бол дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Энэ бодлогын томъёолол буруу болсон. Зөв томъёолол нь дараах дүрстэй байсан болно. $$\frac1{b_{n+1}}-\frac1{b_n}-\frac{b_{n-1}}{b_n^2}+\frac{b_{n-2}}{b_{n-1}^2}+3\Bigl(\frac1{b_{n-1}}-\frac1{b_n}\Bigr)=0,~ b_0=b_1=1,~b_2=\frac14$$ $\frac1{b_{n+1}}-\frac{b_{n-1}}{b_n^2}-\frac3{b_n}=\frac1{b_n}-\frac{b_{n-2}}{b_{n-1}^2}-\frac3{b_{n-1}}=\dots=\frac1{b_2}-\frac{b_0}{b_1^2}-\frac3{b_1}=4-1-3=0$, $\frac1{b_{n+1}}-\frac{b_{n-1}}{b_n^2}-\frac3{b_n}=0$ $\Rightarrow$ $\frac{b_n}{b_{n+1}}-\frac{b_{n-1}}{b_n}-3=0$, $\frac{b_n}{b_{n+1}}=C_n$ гэвэл $C_1=\frac{b_1}{b_2}=4$, $C_0=\frac{b_0}{b_1}=1$ $\Rightarrow$ $C_n-C_{n-1}-3=0$

$$\left\{\begin{array}{l} C_n=C_{n+1}+3\\C_{n-1}=C_{n-2}+3\\ ......................... \\C_1=C_0+3 \end{array}\quad\Rightarrow\quad C_n=C_0+3n=3n+1 \right. $$

$\frac{b_n}{b_{n+1}}=3n+1$ $\Rightarrow$ $b_{n+1}=\frac{b_n}{3n+1}\qquad\times\left\{\begin{array}{l} b_{n+1}=\frac{b_n}{3n+1}\\[2mm] b_n=\frac{b_{n-1}}{3(n-1)+1}\\..................\\b_2=\frac{b_1}{3\cdot1+1} \end{array}\right.$ $\Rightarrow$

$b_{n+1}=\frac{b_1}{(3n+1)(3n-2)\dots(3\cdot2+1)(3\cdot1+1)}=\frac1{4\cdot7\cdot10\dots(3n-2)(3n+1)}$.