IMO-49, Мадрид   

1. $pq=rs$ байх аливаа $p, q, r, s>0$ тоонуудын хувьд $$\dfrac{f(p)^2+f(q)^2}{f(r^2)+f(s^2)}=\dfrac{p^2+q^2}{r^2+s^2}$$ байх бүх $f\colon(0,\infty)\to(0,\infty)$ функцийг ол.

2. (a) $xyz=1$ байх аливаа $x,y,z\neq1$ тоонуудын хувьд $$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{y^2}{(y-1)^2}+\dfrac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

(b) Дээрх тэнцэтгэл биш тэнцэлдээ хүрдэг байх рационал тоонуудын $x$, $y$, $z$ гуравт төгсгөлгүй олон олдоно гэдгийг харуул.

3. $S\subseteq\mathbb R$ байг. Хэрвээ $S$ олонлогийг $S$-д буулгадаг $(f, g)$ функцүүдийн хос дараах чанартай бол түүнийг Испани хос гэж нэрлэе:

1. Хоёр функц хоёулаа өсдөг функц. Өөрөөр хэлбэл аливаа $x < y$, $x,y\in S$ тоонууды хувьд $f(x) < f(y)$ ба $g(x) < g(y)$ биелнэ.
2. Аливаа $x\in S$ тооны хувьд $f(g(g(x))) < g(f(x))$ байна.

Дараах тохиолдлуудад Испани хос оршин байх эсэхийг тодорхойл.

1. $S=\mathbb{N}$ буюу натурал тоон олонлог байх.
2. $S=\{a-1/b : a,b\in\mathbb N\}$ олонлогийн хувьд

4. Бүхэл тоо $m$ бүрийн хувьд $t(m)$-ээр $\{1,2,3\}$ олонлогийн $m+t(m)$ тоо 3-д хуваагддаг байх тоог тэмдэглэе. $f\colon\mathbb Z\to \mathbb Z$ функц $f(-1)=0$, $f(0)=1$, $f(1)=-1$ ба $$f(2^n+m)=f(2^n-t(m))-f(m), \text{ аливаа }m,n\ge 0\text{ ба } 2^n > m$$ нөхцөлийг хангадаг бол аливаа $p\ge 0$ бүхэл тооны хувьд $f(3p)\ge 0$ болохыг батал.

5. $a$, $b$, $c$, $d$ эерэг бодит тоонуудын хувьд $$abcd=1\text{ ба }a+b+c+d>\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}$$ нөхцөл биелэнэ. $$a+b+c+d < \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}$$ болохыг батал.

6. Аливаа $x,y\in\mathbb R$ тоонуудын хувьд $f\colon\mathbb R\to\mathbb N$ функц $$f\left(x+\dfrac{1}{f(y)}\right)=f\left(y+\dfrac{1}{f(x)}\right)$$ нөхцөлийг хангана. $f$-ийн утга болдоггүй натурал тоо оршин байна гэж батал.

7. Аливаа $a$, $b$, $c$, $d$ эерэг бодит тоонуудын хувьд $$\dfrac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\dfrac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\dfrac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\dfrac{(d-a)(d-b)}{d+a+b}\ge 0$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал. Тэнцэлдээ хүрэх нөхцөлийг ол.

8. Хавтгайд талууд нь коодинатын тэнхлэгүүдтэй параллел бөгөөд эерэг урттай тэгш өнцөгтүүд авч үзье. Ийм тэгш өнцөгтүүдийг хайрцаг гэж нэрлэе. Хоёр хайрцаг дотоод ерөнхий цэгтэй эсвэл хүрээ нь ерөнхий цэгтэй бол тэдгээрийг огтлолцдог гэе.

$B_i$, $B_j$ хайрцагууд огтлолцох зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $i\not\equiv j\pm1\pmod{n}$ байдаг $B_1,B_2,\ldots,B_n$ хайрцагууд олддог байх хамгийн их $n$ тоог ол.

9. $\{1,2,\ldots,n\}$ олонлогийн элементүүдийн $$\text{Аливаа }k=1,2,\ldots,n\text{ бүрийн хувьд }2(a_1+a_2+\dots+a_k)\text{ нь }k\text{-д хуваагддаг}$$ чанартай $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ сэлгэмлийн тоог ол.

10. Координатын хавтгайн бүх бүхэл координаттай цэгүүдийн $S$ олонлог авч үзье. $k$ натурал тооны хувьд $ABC$ гурвалжны талбай $k$-тай тэнцүү байхаар $C\in S$ цэг олддог бол $A$, $B\in S$ цэгүүдийг $k$-найзууд гэж нэрлэе. Хэрвээ $T\subset S$ олонлогийн аль ч хоёр элемент нь $k$-найзууд бол $T$ олонлогийг $k$-нөхөрлөл гэе. Дор хаяж 200 элементтэй $k$-нөхөрлөл оршин байдаг хамгийн бага $k$ натурал тоог ол.

11. $n$, $k$ нь тэгш сондгойгоороо ижил натурал тоонууд ба $k\ge n$ байг. Бидэнд $1,2,\ldots, 2n$ гэж дугаарлагдсан $2n$ ширхэг чийдэн өгөгдсөн ба эхэндээ бүх чийдэн унтраалттай байжээ. Бид $k$ алхамтай дараалал сонирхоё. Алхам тутамд чийдэнгүүдийн аль нэгийн төлвийг өөрчилнө (унтраалттай чийдэнг асааж, асаалттай чийдэнг унтраана).

$N$ нь $1,\ldots,n$ чийдэнгүүд асаалттай, $n+1,\ldots, 2n$ чийдэнгүүд унраалттай байх төлөвт шилжих $k$ алхамын тоо гэе.

$M$ нь $n+1,\ldots, 2n$ чийдэнгүүдийн төлвийг огт өөрчилөхгүйгээр өмнөхтэй ижил төлөвт шилжих $k$ алхамын тоо гэе.

Тэгвэл $N/M$ харьцааг ол.

12. $k$, $\ell$ натурал тоонууд ба элементүүд нь $[0,1]$ интервалд байх бодит тоонуудын $(k+\ell)$ элементтэй $S=\{x_1,x_2,\ldots,x_{k+\ell}\}$ олонлог өгчээ. $k$ элементтэй $A\subset S$ олонлог $$\bigg|\dfrac{1}{k}\sum_{x_i\in A}x_i-\dfrac{1}{\ell}\sum_{x_j\in S\setminus A}x_j\bigg|\le\dfrac{k+\ell}{2k\ell}$$ нөхцөлийг хангах бол түүнийг гоё олонлог гэе. Дор хаяж $\dfrac{2}{k+\ell}\dbinom{k+\ell}{k}$ ширхэг гоё олонлог оршин байхыг батал.

13. $n\ge 2$ натурал тоо. $A=\{1,2,3\ldots, 2^{n+1}\}$ олонлогийн $2^n$ ширхэг дэд олонлог $S_1,S_2,\ldots, S_{2^n}$ дараах чанарыг хангадаг: $x < y < z$ ба $y,z\in S_a$, $x,z\in S_b$ байх $a$, $b$ индекс, $x$, $y$, $z\in A$ тоонууд оршин байхгүй. Тэгвэл $S_1,S_2,\ldots,S_{2^n}$ олонлогуудын ядаж нэг нь $4n$-ээс хэтрэхгүй тооны элементтэй гэдгийг батал.

14. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцлын цэг нь $H$. $BC$ талын дундач цэг дээр төвтэй $H$ цэгийг дайрсан тойрог $BC$ шулууныг $A_1$ ба $A_2$ цэгүүдэд огтолно. Мөн адилаар $CA$ талын дундач цэг дээр төвтэй $H$ цэгийг дайрсан тойрог $CA$ шулууныг $B_1$ ба $B_2$ цэгүүдэд огтолно, $AB$ талын дундач цэг дээр төвтэй $H$ цэгийг дайрсан тойрог $AB$ шулууныг $C_1$ ба $C_2$ цэгүүдэд огтолно. $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршихыг батал.

Заавар Бодолт

15. $AB$, $CD$ сууриудтай $ABCD$ трапец өгөгдөв. $BC$ шулуун дээр $BC$ хэрчмийн гадна талд орших $E$ цэг, $AD$ хэрчим дээр орших $F$ цэгийн хувьд $\angle DAE=\angle CBF$ нөхцөл биелдэг байг. $CD$ ба $EF$-ийн огтлолцлын цэгийг $I$, $AB$ ба $EF$-ийн огтлолцлын цэгийг $J$ гэж тэмдэглэе. $EF$ хэрчмийн дундач цэг $K$ нь $AB$ шулуун дээр оршдоггүй гэе. $ABK$ гурвалжныг багтаасан тойрогт $I$ цэг харъяалагдах зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $CDJ$ гурвалжныг багтаасан тойрогт $K$ цэг харъяалагдах юм гэдгийг батал.

Заавар Бодолт

16. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгт байг. $P$, $Q$ цэгүүд $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн дотоод мужид орших бөгөөд $PQDA$, $QPBC$ дөрвөн өнцөгтүүд тойрогт багтана. $PQ$ хэрчим дээр $\angle PAE=\angle QDE$ ба $\angle PBE=\angle QCE$ байх $E$ цэг оршин байдаг байг. $ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж батал.

17. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $BE$, $CF$ өндөр татав. $A$, $F$ цэгүүдийг дайрсан тойрогууд $BC$-г $P$ ба $Q$ цэгт шүргэдэг бөгөөд $B$ цэг $C$, $Q$ цэгүүдийн хооронд оршдог. $PE$, $QF$ шулуунууд $AEF$ гурвалжныг багтаасан тойрог дээр огтлолцоно гэж батал.

18. $k$, $n$ бүхэл тоонууд $0\le k\le n-2$ нөхцөлийг хангадаг байг. Аль ч хоёр нь параллел биш, аль ч гурав нь нэг цэгт огтлолцдоггүй хавтгайн $n$ ширхэг шулуунаас тогтоох $L$ олонлог авч үзье. $L$ дэх шулуунуудын огтлолцлын цэгүүдийн олонлогийг $I$ гэж тэмдэглэе. $O$ цэг $L$-ийн шулуунуудын алинд нь ч харъяалагддаггүй байг. Хэрвээ $OX$ хэрчим хамгийн олондоо $L$-ийн $k$ ширхэг шулуунтай огтолцдог бол $X$ цэгийг улаан өнгөөр будъя. $I$ олонлогт дор хаяж $\frac12(k+1)(k+2)$ ширхэг улаан цэг байгаа гэж батал.

19. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. Уг дөрвөн өнцөгтийн дотоод мужид $$\angle PAB+\angle PDC=\angle PBC+\angle PAD=\angle PCD+\angle PBA=\angle PDA+\angle PCB=90^\circ$$ нөхцөлийг хангах $P$ цэг оршин байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $AC$ ба $BD$ диагоналиуд перпендикуляр гэж батал.

20. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AB\neq BC$. $ABC$, $ADC$ гурвалжинд багтсан тойргууд харгалзан $\omega_1$, $\omega_2$. $ABC$ өнцөгт багтсан $AD$, $CD$ талуудын үргэлжлэлүүдийг шүргэдэг $\omega$ тойрог оршин байдаг гэе. $\omega_1$, $\omega_2$ тойргуудын гадаад ерөнхий шүргэгч $\omega$ тойрог дээр огтлолцоно гэж батал.

21. $n$ натурал тоо, $p$ анхны тоо байг. $a$, $b$, $c$ бүхэл тоонуудын хувьд $$a^n+pb=b^n+pc=c^n+pa$$ бол $a=b=c$ гэж батал.

22. $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ялгаатай натурал тоонууд ба $n\ge3$ байг. $a_i+a_j$ тоо $3a_1,3a_2,\ldots,3a_n$ тоонуудын алийг нь ч хуваадаггүй байхаар ялгаатай $i$, $j$ индексүүд олдоно гэж батал.

23. $a_0,a_1,a_2,\ldots$ натурал тоон дарааллын аль ч дараалсан хоёр гишүүний хамгийн их ерөнхий хуваагч өмнөх гишүүнээсээ их. Өөрөөр хэлбэл $(a_i,a_{i+1})>a_{i-1}$ байна. Аливаа $n\ge0$-ийн хувьд $a_n\ge 2^n$ болохыг батал.

24. $n$ натурал тоо байг. $$\binom{2^n-1}{0},\quad\binom{2^n-1}{1},\quad\binom{2^n-1}{2},\quad\dots,\binom{2^n-1}{2^{n-1}-1}$$ тоонууд $2^n$ модулаар $1,3,5,\ldots,2^n-1$ тоонуудын сэлгэмэл болохыг батал.

25. $n\in\mathbb N$ тооны (эерэг) хуваагчдын тоог $d$ гэж тэмдэглэе. Дараах чанартай бүх $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ функцийг ол.

1. $d(f(x))=x$, $x\in\mathbb N$;
2. аливаа $x,y\in\mathbb N$ тоонуудын хувьд $f(xy)$ тоо $(x-1)y^{xy-1}f(x)$-д хуваагддаг.

26. $n^2+1$ тоо $2n+\sqrt{2n}$-ээс их анхны тоон хуваагчтай байх $n$ төгсгөлгүй олон олдоно гэж батал.