Л. Эрдэнэсувдын нэрэмжит ``Сайн гараа'' олимпиад, 12-р анги   

1. Хос, хосоороо ялгаатай $a$, $b$, $c$, $d$ бодит тоонуудын хувьд $$\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-d)^2}+\dfrac{1}{(d-a)^2}=1$$ нөхцөл биелдэг бол $a^2+b^2+c^2+d^2$ илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.

Заавар Бодолт

2. Элдэв талт, хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны ортотөв $H$ ба $C$ оройгоос буулгасан өндрийн суурь $C_1$ байг. $HC_1$ хэрчим дээрх дурын $K$ цэгээс $AC$, $CB$ талууд руу буулгасан перпендикулярын суурь харгалзан $L$, $M$ ба $AM$, $LB$ хэрчмүүд $N$ цэгт огтлолцдог бол $\measuredangle ANK=\measuredangle HNL$ гэж батал.

3. 0 ба 1 цифрээс тогтох бүх $n$-түүдийн олонлогийг $B_n$ гэж тэмдэглэе. Дурын $a$, $b\in B_n$ (ялгаатай байх албагүй) элементийн хувьд $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ ба $\delta_1,\ldots,\delta_n$ хоёр дарааллыг дараах байдлаар тодорхойлъё.

1. $\varepsilon_0=\delta_0=0$
2. $0\le i\le n-1$ байх $i$ бүрийн хувьд $\varepsilon_{i+1}=(\delta_i-a_{i+1})(\delta_i-b_{i+1})$ ба $\delta_{i+1}=\delta_i+(-1)^{\delta_i}\varepsilon_{i+1}$

Хэрэв $\omega(a,b)=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots+\varepsilon_n$ бол $f(n)=\sum\limits_{a,b\in B_n}\omega(a,b)$-г ол.

4. $\varphi(a^n+n)=2^n\varphi(n)$ тэнцэтгэлийг хангах бүх $(a,n)$ натурал тоон хосыг ол.