Л. Эрдэнэсувдын нэрэмжит ``Сайн гараа'' олимпиад, 11-р анги   

1. $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ буулгалт дурын $n\in\mathbb N$ хувьд $f(2n)=f(n)$, $f(2^n-1)=n$ байдаг байв. Мөн $2^n-1$-ээс бусад хэлбэрийн сондгой тоо $m$-ийн хувьд $f(m)=f(m-1)$ байдаг бол $f(a)=f(2019)$ байх $2019$-өөс бага хэдэн ширхэг $a$ байх вэ?

Заавар Бодолт

2. $\{x_n\}_{n\ge1}$ нь натурал тоон дараалал ба $(n-1)x_n^2=(n-4)x_{n+1}x_{n+2}+16n-44$ нөхцөлийг хангадаг бол ерөнхий гишүүний томьёог ол.

3. 1 ба 2 гэсэн цифрээр л бичигддэг $n$ оронтой тоо хамгийн ихдээ 2-ийн хэдэн зэрэгтэд хуваагдах вэ?

4. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $BC$, $AD$ талын дундаж цэгүүд харгалзан $K$, $M$ байг. $AK$, $BM$ хэрчмүүд $N$ цэгт, $KD$, $CM$ хэрчмүүд $L$ цэгт огтлолцдог бөгөөд $NKLM$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтдаг байв. $BNK$, $ANM$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд $N$-ээс ялгаатай $Q$ цэгт, $CKL$, $MLD$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд $L$-ээс ялгаатай $P$ цэгт огтлолцдог бол $KNML$, $KQMP$ дөрвөн өнцөгтийн талбайнууд тэнцүү болохыг батал.