Л. Эрдэнэсувдын нэрэмжит ``Сайн гараа'' олимпиад, 10-р анги   

1. Натурал тооны квадрат хамгийн олондоо тэгээс ялгаатай хэдэн ижил цифрээр төгсөж болох вэ?

Заавар Бодолт

2. $\omega_1$ тойрог өгчээ. $\omega_1$ тойргийн $A$ цэг дээр төвтэй $\omega_2$ ба $\omega_3$ тойргууд $\omega_1$ тойргийг харгалзан $B$, $C$ ба $D$, $E$ цэгүүдээр огтолно. $BD$ шулуун $\omega_2$ тойргийг $F$ цэгээр огтолдог бол $DF=BE$ гэж батал.

3. $\{1,2,\ldots,2019\}$ тоонуудаас тогтох олонлогийн бүх хоосон биш дэд олонлогийг авч тоонуудын нь урвуунуудын үржвэрийг олов. Эдгээр бүх үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.

4. $5\times 5$ хүснэгтийн баруун дээд булангаас эхлэн бүх нүдний ирмэгийг ядаж нэг удаа дайрсан замын урт хамгийн багадаа хэд байх вэ? Нэг ирмэгийн урт 1.