Сайн гараа, 2019, 9-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. $x^2+y^2=2^{55}(x+y)+xy$ тэгшитгэлийн шийдийн бүх эрэмбэлэгдсэн бүхэл тоон хосуудыг ол.
2. Аль ч тоо болон аль ч хэдэн тооных нь нийлбэр 2019-д хуваагддаггүй байхаар 2019 ширхэг натурал тоог сонгож болох уу?
3. $abc=1$ байх эерэг бодит $a$, $b$, $c$ тоонуудын хувьд
$$\dfrac{a+1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{b+1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\dfrac{c+1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge\dfrac{18}{a+b+c}$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
4. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн дотор $O$-цэгийг $\measuredangle AOB=\measuredangle COD=120^\circ$, $AO=OB$, $CO=OD$ байхаар сонгон авчээ. Хэрэв $AB$, $BC$, $CD$ талуудын дундаж цэгүүд нь харгалзан $K$, $L$, $M$ бол $\triangle KLM$ нь зөв гурвалжин болохыг харуул.