Л. Эрдэнэсувдын нэрэмжит ``Сайн гараа'' олимпиад, 8-р анги   

1. $n^2+55n+555$ нь бүтэн кв байх бүх натурал $n$-тоонуудыг ол.

Заавар Бодолт

2. Өгөгдсөн байрлал бүхий товчлууртай үсгүүдээр код бичих болов. Бичихдээ нэг үсэг дарсны дараа заавал хөндлөн, босоо эсвэл диагоналын чиглэлийн дагуу зэргэлдээх аль нэг үсгийг дарах бөгөөд дарахдаа үсэг алгасахгүй. (Жишээ нь: 3 үсэгтэй кодын хувьд $EIE$-г бичиж болох бөгөөд харин $AAB$, $ACF$, $EII$ зэрэг кодуудыг бичиж болохгүй ба $ABC$ болон $BCA$ кодуудыг ялгаатай код гэж үзнэ.) Тэгвэл 5 үсэгтэй ялгаатай код хэчнээнийг бичиж болох вэ?

3. $a$, $b$, $c$ эерэг бодит тоонуудын хувьд $$A=\left(\dfrac{ab+2bc}{ca}\right)^2+\left(\dfrac{bc+2ca}{ab}\right)^2+\left(\dfrac{ca+2ab}{bc}\right)^2$$ илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.

4. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $BD$ диагонал нь $\measuredangle ADC$-ийн бисектрисс байг. Хэрэв $AD=2\cdot CD$ ба $\measuredangle BCD=2\cdot\measuredangle BAD$ нөхцөлүүд биелдэг бол $$AB^2+BD^2=(BC+CD)^2$$ болохыг харуул.