Бүс, дүүрэг 2019, намар, Бага ангийн багш

Бүс, дүүрэг 2019, Бага ангийн багш   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 150 мин


1. Ямар нэг $n$ натурал тооны хувьд $m=n-S(n)$ гэж бичигдэх $m$ натурал тоог "сайн тоо" гэж нэрлэе. 2019-өөс хэтрэхгүй хэчнээн ширхэг сайн тоо байх вэ? Энд $S(n)$ нь $n$ тооны цифрүүдийн нийлбэр.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Хариу: 202 ширхэг тоо.

5 буюу түүнээс дээш оронтой тооноос цифрүүдийнх нь нийлбэрийг хасахад $2019$-ээс их тоо гарах нь ойлгомжтой юм. Иймд зөвхөн 4 ба түүнээс цөөн оронтой тоонуудыг авч үзэхэд хангалттай. $m=n-S(n)$ ба $n=\overline{abcd}$ гэвэл $m=999a+99b+9c$ болно. Энд $a\in\{0,1,2\}$ ба $b,c\in\{0,1,2,\dots,9\}$ байна. $$m=999a+99b+c=999a^\prime+99b^\prime+9c^\prime$$ бол $a=a^\prime$, $b=b^\prime$, $c=c^\prime$ байх нь ойлгомжтой. $a=0\lor 1$ үед $b$, $c$ нь тус бүр 10 боломжтой ба үүнээс $a=b=c=0$ үед натурал тоо үүсэхгүй тул нийт $2\cdot 10\cdot 10-1=199$ ширхэг сайн тоо байна. Харин $a=2$ үед $m\le 2019$ байхын тулд $b=0$, $c=0,1,2$ байх тул 3 ширхэг сайн тоо байна. Иймд нийт 202 ширхэг сайн тоо байна.


2. Аль ч хоёрынх нь нийлбэр ялгавартаа хуваагддаг, $2019$ ширхэг натурал тоо оршин байх уу?

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Ийм тоонуудыг индукцээр байгуулж болно. $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ тоонууд бодлогын нөхцөлийг хангах тоонууд байг. $$N=\prod_{i=1}^n a_i \prod_{i < j}(a_j-a_i)$$ гэвэл $$N, a_1+N, a_2+N,\dots, a_n+N$$ тоонууд бодлогын нөхцөлийг хангана. Учир нь $a_i\mid N$ тул $N$, $a_i+N$ тоонуудын хувьд $a_i\mid a_j+2N$; $a_j-a_i\mid a_i+a_j$, $a_j-a_i\mid N$ тул $a_i+N$, $a_j+N$ тоонуудын хувьд $a_j-a_i\mid a_i+a_j+2N$ юм.


3. $a$ талтай $ABCD$ квадратын $AB$ тал дээр $P$ цэгийг, $BC$ тал дээр $Q$ цэгийг, $CD$ тал дээр $R$ цэгийг, $AD$ тал дээр $S$ цэгийг тус тус авав. Хэрэв $AP+AS+CQ+CR=2a$ байсан бол $PR=QS$ гэж батал.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт.
$A$-г дайрсан $QS$-тэй параллел шулуун $BC$ шулуунтай $E$ цэгт, $A$-г дайрсан $PR$-тай параллел шулуун $CD$ шулуунтай $F$ цэгт огтлолцдог байг. Тэгвэл $AS=EQ$, $AP=RF$ учраас $AP+AS+CQ+CR=EC+CF=2a$ буюу $EC=2a-CF$ болно. $BE=a-EC=a-(2a-CF)=CF-a=CF-CD=DF$, $AB=AD$, $\angle ABE=\angle ADF=90^{\circ}$ учраас $\triangle ABE= \triangle ADF$ болох ба $AE=AF$ байна. Эндээс $SQ=PR$ байна.


4. $5\times 5$ хүснэгтийн нүд бүрд натурал тоо бичжээ. Хүснэгтийн мөрнүүдэд бичсэн тоонуудын нийлбэр $S_1,S_2,S_3,S_4,S_5$, багануудад бичигдсэн тоонуудын нийлбэр $S_6, S_7, S_8, S_9, S_{10}$ болог. Хэрэв эдгээр 10 тоо бүгд ялгаатай байвал ийм хүснэгтийг "шидэт биш квадрат" гэе. Шидэт биш квадратад бичигдсэн бүх тоонуудын нийлбэр хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Хариу: 48.

$S_1, S_2,\dots, S_{10}\ge 5$ байх нь ойлгомжтой. Эдгээр тоонууд бүгд ялгаатай гэдгээс $\{S_1,S_2,\dots,S_{10}\}$ олонлогийн байж болох "хамгийн бага" хувилбар нь $\{5,6,\dots,13,14\}$ юм. ($S_1+S_2+\dots+S_{10}$ нийлбэрийн хамгийн бага утгатай байх хувилбар). Хүснэгтэд бичигдсэн бүх тоонуудын нийлбэрийг $S$ гэе. Тэгвэл $$S=\dfrac12\cdot(S_1+S_2+\dots+S_{10})\ge\dfrac12(5+6+\dots+14)=\dfrac12\cdot 95=47\dfrac12$$ болж $S\ge 48$ болно. Одоо $S=48$ байх жишээ дурдахад хангалттай. Тухайлбал
1 1 1 1 1
1 1 1 2 2
1 1 2 3 3
1 2 2 3 3
2 3 3 3 4