Бүс, дүүрэг 2019, намар, 11-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 210 мин
1. $a^3+b^3+c^3=3$ байх $a$, $b$, $c$ эерэг бодит тоонуудын хувьд
$$\dfrac{1}{a^4+3}+\dfrac{1}{b^4+3}+\dfrac{1}{c^4+3}\ge\dfrac{3}{4}$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $$\dfrac{1}{a^4+3}+\dfrac{1}{b^4+3}+\dfrac{1}{c^4+3}=\dfrac13\left(3-\dfrac{a^4}{a^4+3}-\dfrac{b^4}{b^4+3}-\dfrac{c^4}{c^4+3}\right)\ge\dfrac34$$
$$\Leftrightarrow\dfrac{a^4}{a^4+3}+\dfrac{b^4}{b^4+3}+\dfrac{c^4}{c^4+3}\le\dfrac34$$
болохыг батлахад хангалттай.
$a>0$ бол $\dfrac{a^4}{a^4+3}\le\dfrac{a^3}{4}$ гэдгийг баталъя. Энэ нь $4a\le a^4+3$ гэсэн илэрхий тэнцэтгэл биштэй эквивалент юм. ($a^4+3=a^4+1+1+1\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot 1\cdot 1\cdot 1}=4a$)
Эндээс $$\dfrac{a^4}{a^4+3}+\dfrac{b^4}{b^4+3}+\dfrac{c^4}{c^4+3}\le\dfrac{a^3+b^3+c^2}{4}=\dfrac{3}{4}$$ болж бодлого бодогдоно. Баталгааны явцаас өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийн тэнцэлдээ хүрэх нөхцөл $a=b=c=1$ болно.
$a>0$ бол $\dfrac{a^4}{a^4+3}\le\dfrac{a^3}{4}$ гэдгийг баталъя. Энэ нь $4a\le a^4+3$ гэсэн илэрхий тэнцэтгэл биштэй эквивалент юм. ($a^4+3=a^4+1+1+1\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot 1\cdot 1\cdot 1}=4a$)
Эндээс $$\dfrac{a^4}{a^4+3}+\dfrac{b^4}{b^4+3}+\dfrac{c^4}{c^4+3}\le\dfrac{a^3+b^3+c^2}{4}=\dfrac{3}{4}$$ болж бодлого бодогдоно. Баталгааны явцаас өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийн тэнцэлдээ хүрэх нөхцөл $a=b=c=1$ болно.
2. $a_n$ дараалал $a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+1}{a_n}$, $n\in\mathbb N$ рекуррент томьёогоор өгөгдөв. Хэрэв $a_1=1$, $a_{2018}=3$ бол $a_{2019}$ хэдтэй тэнцүү вэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $a_{2}=x$ гэе. Тэгвэл
\begin{align*}
a_3&=\dfrac{x+1}{1}=x+1,\\
a_4&=\dfrac{x+1+1}{x}=\dfrac{x+2}{x},\\
a_5&=\dfrac{\frac{x+2}{x}+1}{x+1}=\dfrac{2}{x},\\
a_6&=\dfrac{\frac{2}{x}+1}{\frac{x+2}{x}}=1\\
a_7&=\dfrac{1+1}{\frac{2}{x}}=x
\end{align*}
буюу $a_n$ дараалал $5$ үетэй болов. $a_{2018}=a_3=x+1=3\Rightarrow x=2$ ба
$$a_{2019}=a_4=\dfrac{2+2}{2}=2$$
3. Урдаасаа болон ардаасаа ижилхэн уншигддаг натурал тоог "толин тоо" гэе. (палиндром тоо) Жишээлбэл $12321$, $2004002$ толин тоонууд.
9 оронтой $m$ гэсэн тоог баруунаас зүүн тийш урвуу эрэмбээр бичихэд гарах 9 оронтой тоог $n$ гэе. Хэрэв $mn$ үржвэр толин тоо бөгөөд оронгийн тоо нь сондгой бол $m$-ийн авч болох хамгийн их утгыг ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: $m=220 000 001$
$m=\overline{a_8a_7\dots a_0}$, $n=\overline{a_0a_1\dots a_8}$ ба $a_8, a_0\neq 0$ болог. $mn$ үржвэр сондгой оронтой тоо гэдгээс түүний оронгийн тоо $17$-той тэнцүү. $$mn=\overline{b_{16}b_{15}\dots b_1b_0}$$ болог. Энд $b_{16}=b_0$, $b_{15}=b_1,\dots, b_9=b_7$ юм. Түүнчлэн $$b_k=a_0a_{8-k}+a_1a_{9-k}+\dots+a_{k-1}a_7+a_ka_8,\ k=0,1,\dots,8\quad (*)$$ болохыг хялбархан харж болно. $(*)$-оос $$b_8=a_0^2+\dots+a_8^2$$ ба $b_8\le 9$ гэдгээс $m$-ийн аль ч цифр $2$-оос ихгүй. Эндээс $m$ тооны бичлэгт хамгийн олондоо 2 ширхэг 2-ийн цифр л орж болно. $a_0>0$ тул $a_0=1$, $a_k=0$, $k=1,2,\dots,6$ гэсэн хамгийн их утгатай байж болно. Энэ тоо бодлогын нөхцөлийг хангана.
$m=\overline{a_8a_7\dots a_0}$, $n=\overline{a_0a_1\dots a_8}$ ба $a_8, a_0\neq 0$ болог. $mn$ үржвэр сондгой оронтой тоо гэдгээс түүний оронгийн тоо $17$-той тэнцүү. $$mn=\overline{b_{16}b_{15}\dots b_1b_0}$$ болог. Энд $b_{16}=b_0$, $b_{15}=b_1,\dots, b_9=b_7$ юм. Түүнчлэн $$b_k=a_0a_{8-k}+a_1a_{9-k}+\dots+a_{k-1}a_7+a_ka_8,\ k=0,1,\dots,8\quad (*)$$ болохыг хялбархан харж болно. $(*)$-оос $$b_8=a_0^2+\dots+a_8^2$$ ба $b_8\le 9$ гэдгээс $m$-ийн аль ч цифр $2$-оос ихгүй. Эндээс $m$ тооны бичлэгт хамгийн олондоо 2 ширхэг 2-ийн цифр л орж болно. $a_0>0$ тул $a_0=1$, $a_k=0$, $k=1,2,\dots,6$ гэсэн хамгийн их утгатай байж болно. Энэ тоо бодлогын нөхцөлийг хангана.
4. $O$ төвтэй $ABCD$ квадратын $BC$ талын дундаж $E$, $AD$ талын дундаж $F$ байг. $EC$ хэрчим дээр $M$ цэгийг авсан ба $AM$ нь $EF$-тэй $K$ цэгт огтлолцоно. $OM$ шулууны хувьд $E$-тэй тэгш хэмтэй цэгийг $H$ гэе. Тэгвэл $KH$ шулуун $AB$ талын дунджийг дайрна гэж батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. 
$AB$-ийн дундажийг $P$ гэе. $PH\cap EF=L$ байг. $MH\cap AD=T$ гэе. $A$-г дайрсан $MH$-тай параллел шулуун $PH$-тай $S$ цэгт огтлолцдог байг. $\measuredangle HPO=\measuredangle PHO=x$, $\measuredangle MTA=\measuredangle SAQ=\beta$ гэе.
$$\measuredangle HSA=\beta+x, \measuredangle SPA=180^\circ-90^\circ-x=90^\circ-x,$$
$$\measuredangle EOH=180^\circ-\measuredangle EMH=180^\circ-(180^\circ-\beta)=\beta.$$
$\triangle PHO$-ийн өнцгүүдийн нийлбэр
$$2x+\beta+90^\circ=180^\circ.$$ Эндээс $\beta=90^\circ-2x$.
$$\measuredangle HSA=\beta+x=90^\circ-2x+x=90^\circ-x=\measuredangle SPA\Rightarrow SA=PA=AF$$
$EM=MH$ ба $\measuredangle EMH=180^\circ-\beta=\measuredangle SAF\Rightarrow SF\parallel EH$.
$$\Rightarrow\triangle SLF\sim\triangle HLE\Rightarrow\dfrac{SF}{EH}=\dfrac{FL}{LE}$$
$$\triangle SAF\sim\triangle HME\Rightarrow\dfrac{SF}{EH}=\dfrac{AF}{EM}=\dfrac{FK}{KE}$$
Эндээс $\dfrac{FL}{LE}=\dfrac{FK}{KE}\Rightarrow K\equiv L$.