Бүс, дүүрэг 2019, намар, 8-р анги

Бүс, дүүрэг 2019, 8-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 150 мин


1. $n$ натурал тоо бол $2^n+3^n$ тоо бүхэл тооны квадрат болох уу?

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Тэгш $n$-ийн хувьд сүүлийн цифр нь 3 юмуу 7 байна. Харин сондгой $n$-ийн хувьд 3-д хуваахад 2 үлдэгдэгдэл өгнө.


2. $a$ талтай $ABCD$ квадратын $AB$ тал дээр $P$ цэгийг, $BC$ тал дээр $Q$ цэгийг, $CD$ тал дээр $R$ цэгийг, $AD$ тал дээр $S$ цэгийг тус тус авав. Хэрэв $AP+AS+CQ+CR=2a$ байсан бол $PR=QS$ гэж батал.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт.
$A$-г дайрсан $QS$-тэй параллел шулуун $BC$ шулуунтай $E$ цэгт, $A$-г дайрсан $PR$-тай параллел шулуун $CD$ шулуунтай $F$ цэгт огтлолцдог байг. Тэгвэл $AS=EQ$, $AP=RF$ учраас $AP+AS+CQ+CR=EC+CF=2a$ буюу $EC=2a-CF$ болно. $BE=a-EC=a-(2a-CF)=CF-a=CF-CD=DF$, $AB=AD$, $\angle ABE=\angle ADF=90^{\circ}$ учраас $\triangle ABE= \triangle ADF$ болох ба $AE=AF$ байна. Эндээс $SQ=PR$ байна.


3. $8\times 8$ хүснэгтийн нүднүүдийг улаан, хөх, шар өнгийн аль нэгээр будав.
Зурагт өгсөн булан дүрсийг хүснэгтийн хаана ч авсан түүний нүднүүд дотор дээрх 3 өнгөөр будагдсан нүднүүд олддог байхаар хүснэгтийг будах ялгаатай аргын тоог $n$ гэе. Тэгвэл $n\ge 6^8$ гэдгийг батал.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $5$ нүдтэй булан дүрс $1\times 3$ хэмжээтэй тэгш өнцөгтийг агуулна. $8\times 8$ хүснэгтийн дурын мөрийг өгөгдсөн 3 өнгөөр, уг мөрийн хаана ч $1\times 3$ тэгш өнцөгт авахад тэгш өнцөгтийг $3$ нүд өөр, өөр өнгөтэй байхаар будах ялгаатай аргын тоо $6$-тай тэнцүү. Иймд
у х ш у х ш у х
у ш ч у ш х у ш
х у ш х у ш х у
х ш у х ш у х у
ш у ч ш у х ш у
ш х у ш х у ш х
Иймд $8\times 8$ хүснэгтийн аль ч мөрийн $1\times 3$ тэгш өнцөгтийн $3$ нүд өөр, өөр өнгөтэй байхаар будах ялгаатай аргын тоо нь $6^8$-тэй тэнцүү. Ийм будалт бодлогын нөхцөлийг хангах нь ойлгомжтой. Эндээс $n\ge 6^8$ болно.


4. Өгөгдсөн 2000 бүхэл тоог дурын байдлаар 1000 хосд хуваагаад хос бүрийн тоонуудын нийлбэрийг бодоход нийлбэрүүд дунд хоорондоо тэнцүү хоёр тоо ямагт олдож байв. Тэгвэл эдгээр тоон дотор хамгийн олондоо хэдэн ялгаатай тоо байж болох вэ?

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Хариу: 999 тоо.

Хэрэв эдгээр 2000 тоон дотор хоорондоо ялгаатай 1000 тоо байдаг гэвэл тэдгээрийг $$a_1 < a_2 < \dots < a_{1000}$$ гэж эрэмбэлсэн гэе. Үлдсэн 1000 тоог мөн $$b_1 \le b_2 \le \dots \le b_{1000}$$ гэж эрэмбэлье. Дараа нь $$(a_1,b_1), (a_2,b_2),\dots,(a_{1000}, b_{1000})$$ гэж 1000 хос үүсгэе. Тэгвэл $$a_1+b_1 < a_2+b_2 < \dots < a_{1000}+b_{100}$$ болоход хүрч зөрчилд хүрнэ. Иймд эдгээр 2000 тоон дотор 1000-аас цөөн тооны ялгаатай тоонууд байна. Харилцан ялгаатай тоонууд нийт 999 байж болох жишээ нь $$\underbrace{1,1,\ldots,1}_{1002},2,3,4,\dots,998,999$$ гэсэн 2000 тоо юм.