Бүс, дүүрэг 2019, намар, 7-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. $1^2, 2^2, 3^2,\dots,2018^2,2019^2$ гэсэн тоонууд дотор аравтын орны цифр нь сондгой байдаг хэдэн тоо байх вэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: 404 тоо.
$A=\overline{ab\ldots cd}=\overline{ab\ldots c}\cdot 10+d$ болог. Тэгвэл $$A^2=(10k+d)^2=20(5k^2+kd)+d^2$$ тул $A^2$ тооны 10-тын орны цифр нь сондгой байх бүрэн нөхцөл нь $d^2$-ийн аравтын орны цифр сондгой байх болно. Ийм байх хоёр л цифр байгаа. $d=4$, $d=6$. Эндээс $1$-ээс $2019$ хүртэлх тоонууд дотор $4$ эсвэл $6$ цифрээр төгссөн хэдэн тоо байгааг тоолоход хангалттай юм. $4,14,24,34,\dots,2014$ дараалалд $202$ ш тоо, $6,16,26,36,\ldots,2016$ дараалалд мөн $202$ ш тоо нийт $202+202=404$ ширхэг тоо байна.
$A=\overline{ab\ldots cd}=\overline{ab\ldots c}\cdot 10+d$ болог. Тэгвэл $$A^2=(10k+d)^2=20(5k^2+kd)+d^2$$ тул $A^2$ тооны 10-тын орны цифр нь сондгой байх бүрэн нөхцөл нь $d^2$-ийн аравтын орны цифр сондгой байх болно. Ийм байх хоёр л цифр байгаа. $d=4$, $d=6$. Эндээс $1$-ээс $2019$ хүртэлх тоонууд дотор $4$ эсвэл $6$ цифрээр төгссөн хэдэн тоо байгааг тоолоход хангалттай юм. $4,14,24,34,\dots,2014$ дараалалд $202$ ш тоо, $6,16,26,36,\ldots,2016$ дараалалд мөн $202$ ш тоо нийт $202+202=404$ ширхэг тоо байна.
2. $2019\times2019$ хүснэгтийн бүх нүдэнд бүхэл тоонуудыг бичив. Эдгээр нь бүгд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байсан бол аль ч $2\times 2$ ба $3\times 3$ хүснэгт дотор бичигдсэн тоонуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байж болох уу?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: Болно.
| $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $\dots$ |
| $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $\dots$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $\dots$ |
| $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $\dots$ |
| $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $\dots$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $\dots$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ |
3. $a$ талтай $ABCD$ квадратын $AB$ тал дээр $P$ цэгийг, $BC$ тал дээр $Q$ цэгийг, $CD$ тал дээр $R$ цэгийг, $AD$ тал дээр $S$ цэгийг тус тус авав. Хэрэв $AP+AS+CQ+CR=2a$ байсан бол $PR=QS$ гэж батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. 
$A$-г дайрсан $QS$-тэй параллел шулуун $BC$ шулуунтай $E$ цэгт, $A$-г дайрсан $PR$-тай параллел шулуун $CD$ шулуунтай $F$ цэгт огтлолцдог байг. Тэгвэл $AS=EQ$, $AP=RF$ учраас $AP+AS+CQ+CR=EC+CF=2a$ буюу $EC=2a-CF$ болно. $BE=a-EC=a-(2a-CF)=CF-a=CF-CD=DF$, $AB=AD$, $\angle ABE=\angle ADF=90^{\circ}$ учраас $\triangle ABE= \triangle ADF$ болох ба $AE=AF$ байна. Эндээс $SQ=PR$ байна.
4. Цифр бүр нь өөртэйгээ тэнцүү удаа орсон 7 оронтой тоо хэдэн ширхэг байх вэ? Жишээ нь $1224444$ тоонд 1 цифр 1 удаа, 2 цифр 2 удаа, 4 цифр 4 удаа орсон байна.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: $169$
7 нь ялгаатай тоонуудын нийлбэрт $1+2+4=7$, $1+6=7$, $2+5=7$, $3+4=7$, $7=7$ гэж 4 янзаар задарна. Эхний тохиолдолд дөрвөн ширхэг 4 цифрийг $C_7^4=\dfrac{7!}{3!4!}=35$, хоёр ширхэг $2$ цифрийг $C_3^2=3$ янзаар, үлдэх нэг ширхэг $1$ цифрийг $1$ янзаар байрлуулах тул $35\cdot 3=105$ боломж бий. $1+6=7$ бол нэг ширхэг 1 цифрийг $7$ янзаар байрлуулна. $2+5=7$ гэвэл хоёр ширхэг 2 цифрийг $C_7^2=21$ янзаар байрлуулна. $3+4=7$ бол $C_7^3=35$ ширхэг тоо үүснэ. $7=7$ үед $7777777$ гэсэн $1$ ширхэг тоо байна. Иймд бодлогын нөхцөлийг хангах $$105+7+21+35+1=169$$ ширхэг тоо байна.
7 нь ялгаатай тоонуудын нийлбэрт $1+2+4=7$, $1+6=7$, $2+5=7$, $3+4=7$, $7=7$ гэж 4 янзаар задарна. Эхний тохиолдолд дөрвөн ширхэг 4 цифрийг $C_7^4=\dfrac{7!}{3!4!}=35$, хоёр ширхэг $2$ цифрийг $C_3^2=3$ янзаар, үлдэх нэг ширхэг $1$ цифрийг $1$ янзаар байрлуулах тул $35\cdot 3=105$ боломж бий. $1+6=7$ бол нэг ширхэг 1 цифрийг $7$ янзаар байрлуулна. $2+5=7$ гэвэл хоёр ширхэг 2 цифрийг $C_7^2=21$ янзаар байрлуулна. $3+4=7$ бол $C_7^3=35$ ширхэг тоо үүснэ. $7=7$ үед $7777777$ гэсэн $1$ ширхэг тоо байна. Иймд бодлогын нөхцөлийг хангах $$105+7+21+35+1=169$$ ширхэг тоо байна.