Бүс, дүүрэг 2019, намар, 6-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. 6А ангийн $32$ сурагч ямар нэг дугуйланд суралцдаг ба энэ ангид $2$ сурагч зэрэгцэн суудаг $24$ ширээ байдаг. Математикийн хичээлийн түвшин тогтоох шалгалтыг 2, 3, 4, 5 гэсэн дүнгээр дүгнэх бөгөөд 6А ангийн хөвгүүдийн дундаж дүн 4-тэй, охидын дундаж дүн $3.25$-тай тэнцүү гарчээ. Харин ангийн сурагчдын дундаж дүн $3.6$-тай тэнцүү байсан бол энэ анги хэдэн охинтой вэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: 6А анги 45 сурагчтай 24 охинтой.
Анги $x$ хөвгүүнтэй, $y$ охинтой гэе. Тэгвэл $32\le x+y\le 48$ байна. Хөвгүүдийн дүнгийн нийлбэр $4x$, охидын дүнгийн нийлбэр $3.25y$ ба ангийн сурагчдын авсан дүнгийн нийлбэр $$4x+3.25y=3.6(x+y)$$ болно. Эндээс $8x=7y$ буюу $x:y=7:8$ болж ангийн сурагчдын тоо $x+y$ нь $15$-д хуваагдах ёстой. $32$-оос $48$-ын хооронд орших $15$-д хуваагддах цор ганц тоо нь $x+y=45$ болно. $x:y:(x+y)=7:8:15$ тул $x=21$, $y=24$ байна.
Анги $x$ хөвгүүнтэй, $y$ охинтой гэе. Тэгвэл $32\le x+y\le 48$ байна. Хөвгүүдийн дүнгийн нийлбэр $4x$, охидын дүнгийн нийлбэр $3.25y$ ба ангийн сурагчдын авсан дүнгийн нийлбэр $$4x+3.25y=3.6(x+y)$$ болно. Эндээс $8x=7y$ буюу $x:y=7:8$ болж ангийн сурагчдын тоо $x+y$ нь $15$-д хуваагдах ёстой. $32$-оос $48$-ын хооронд орших $15$-д хуваагддах цор ганц тоо нь $x+y=45$ болно. $x:y:(x+y)=7:8:15$ тул $x=21$, $y=24$ байна.
2. $8\times 8$ хэмжээтэй шатрын хөлгийн зүүн доод буланд цагаан тэрэг, зүүн дээд буланд хар тэрэг байрласан байв. Цагаан тоглогч өөрийн ээлжинд цагаан тэргийг босоо эсвэл хөндлөн чиглэлийн аль нэгийнх нь дагуу 2 юмуу 4 нүд, хар тоглогч хар тэргийг босоо эсвэл хөндлөн чиглэлийн аль нэгийнх нь дагуу 3 юмуу 5 нүд нүүж болно. Эхэлж цагаан тоглогч нүүнэ, дараа нь хар тоглогч нүүнэ гэх мэтээр ээлжилж нүүнэ. Хар тоглогч яг 10 дахь нүүдлээрээ цагаан тэргийг идэх (өөрийн тэргийг цагаан тэрэг байгаа нүдэнд байрлуулах) боломжтой юу?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $8\times 8$ хэмжээтэй шатрын хөлгийн зүүн доод ба зүүн дээд булан өөр өнгийн нүднүүд юм. Тэрэг тус бүр тэгш удаа нүүсний дараа өөрийн анх байсан нүдтэй ижил өнгийн нүдэнд байрлана. Иймд яг 10 нүүгээд хар тэрэг, цагаан тэргийг идэх боломжгүй юм.
3. $1\times 10$ хүснэгтийн нүднүүдэд $0,1,2,\dots,8,9$ цифрүүдийг нэг нэгээр нь бичих болов. Эхлээд аль нэг нүдэнд $0$-ийн цифр бичнэ. Дараа нь $0$-ийн цифр бичигдсэн нүдний аль нэг хөрш нүдэнд $1$-ийн цифр бичнэ. Дараа нь ямар нэг цифр бичигдсэн нүдний аль нэг хоосон хөрш нүдэнд $2$-ийн цифр бичнэ гэх мэтээр бүх цифрийг хэчнээн ялгаатай аргаар бичиж болох вэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: $2^9=512$ ялгаатай аргаар бичиж болно.
Хамгийн анх бичигдсэн $0$-ийн цифрийн баруун гар талд байгаа цифрүүд нь өсөх эрэмбэтэй 9-өөс олонгүй оронтой тоо үүсгэнэ. Харин үлдэх цифрүүд нь 0 цифрийн зүүн гар талд буурах эрэмбээр бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл бичлэг бүр нь 0 цифрийн баруун талд байгаа цифрүүдээр бүрэн тодорхойлогдоно. Энэ тоо нь 9 элементтэй олонлогийн дэд олонлогийн тоо буюу $2^9=512$ гэсэн хариу гарна.
Хамгийн анх бичигдсэн $0$-ийн цифрийн баруун гар талд байгаа цифрүүд нь өсөх эрэмбэтэй 9-өөс олонгүй оронтой тоо үүсгэнэ. Харин үлдэх цифрүүд нь 0 цифрийн зүүн гар талд буурах эрэмбээр бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл бичлэг бүр нь 0 цифрийн баруун талд байгаа цифрүүдээр бүрэн тодорхойлогдоно. Энэ тоо нь 9 элементтэй олонлогийн дэд олонлогийн тоо буюу $2^9=512$ гэсэн хариу гарна.
4. $n < S(n)+2019$ нөхцөлийг хангах $n$ натурал тоо хэчнээн ширхэг байх вэ? Энд $S(n)$ нь $n$ натурал тооны цифрүүдийн нийлбэр юм.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $n$ тоо 5 буюу түүнээс дээш оронтой байж болохгүй. Жишээ нь 5 оронтой $n=\overline{abcde}$ тооны хувьд
$$n-S(n)>10000-5\cdot 9=99945$$
байна. Иймд $n=\overline{abcd}$ гэж үзэж болно. $n<2000$ нь бодлогын нөхцөл хангах тоо байх нь ойлгомжтой. Иймд зөвхөн $a=2$ байх тоонуудыг тоолоход хангалттай. Учир нь $a>2$ үед
$$n-S(n)>3000-4\cdot 9=2964$$
юм. Түүнчлэн
$$n-S(n)=2000+100b+10c+d-(2+b+c+d)=1998+99b+9c<2019$$
буюу
$$99b+9c<21$$
тул $b=0$, $c=0,1,2$ байна. Тохиолдол бүрд $d$ нь $10$ боломжтой тул $a=2$ байх 30 ширхэг тоо байна. Иймд нийт $1999+30=2029$ ширхэг тоо бодлогын нөхцөлийг хангана.