Бага сунгаа VI, 10-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 180 мин
1. $ABC\ (AB>AC)$ гурвалжны $BC$ талын дундаж $M$, $AL$ нь 4$A$ өнцгийн биссектрис. $M$ цэгийг дайрсан $AL$-д перпендикуляр шулуун $AB$ талыг $D$ цэгт огтолдог бол $AD+MC$ нь $ABC$ гурвалжны периметрийн хагас гэж батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Олонлог Академи сургуулийн багш Т. Нямтогтохын бодолт.
$E\in AB$, $EC\cap AL=O$, $AD=x$, $ED=y$ гэе.
$$\measuredangle EAO=\measuredangle OAC \Rightarrow AE=AC=x$$
$EC||DM, MC=MB\Rightarrow$ Фалесын теоремоор
$$ED=DB=y\Rightarrow AD=AE+ED=x+y$$
$$AB+AC=AE+ED+DB+AC=x+y+y+x=2(x+y)=2(AE+ED)$$
2. $m^3+n^3>(m+n)^2$ байх аливаа $m$, $n$ эерэг бүхэл тоонуудын хувьд $m^3+n^3>(m+n)^2+k$ нөхцөл биелдэг байх эерэг бүхэл $k$-ийн хамгийн их утгыг ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Олонлог Академи сургуулийн багш Т. Нямтогтохын бодолт.
$(m,n)=(3,1)\Rightarrow k=11$, $(m,n)=(3,2)\Rightarrow k=9$ болох тул $m>3, n>3$ үед $m^3+n^3>(m+n)^2+9$ гэж баталъя.
$m\geqslant 4 , n\geqslant 4$ тул $n^3\geqslant 4n^2$, $m^3\geqslant 4m^2$ байна.
$m^3+n^3\geqslant 4m^2+4n^2\geqslant (n+m)^2+9 \Rightarrow 3m^2+3n^2>2mn+9 $ ба $m^2+n^2\geqslant 2mn$ тул $2m^2+2n^2>9$ гэсэн илэрхий тэнцэтгэл биш болно. Хариу: $\{k=9\}$
$(m,n)=(3,1)\Rightarrow k=11$, $(m,n)=(3,2)\Rightarrow k=9$ болох тул $m>3, n>3$ үед $m^3+n^3>(m+n)^2+9$ гэж баталъя.
$m\geqslant 4 , n\geqslant 4$ тул $n^3\geqslant 4n^2$, $m^3\geqslant 4m^2$ байна.
$m^3+n^3\geqslant 4m^2+4n^2\geqslant (n+m)^2+9 \Rightarrow 3m^2+3n^2>2mn+9 $ ба $m^2+n^2\geqslant 2mn$ тул $2m^2+2n^2>9$ гэсэн илэрхий тэнцэтгэл биш болно. Хариу: $\{k=9\}$
3. $\{a_n\}$ дарааллыг $a_n=2019+n^2$ гэж өгчээ. $a_n$ ба $a_{n+1}$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагчийг $d_n$ гэж тэмдэглэвэл $\{d_n\}$ дарааллын хамгийн их гишүүн хэд вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. $(a,b)=(a-bk,b)$ ашигла.
Бодолт. Олонлог Академи сургуулийн багш Т. Нямтогтохын бодолт.
Эвклидийн алгоритм хэрэглэвэл \begin{align*} (a_n,a_{n+1}) &=(2019+n^2, 2019+(n+1)^2)=(2019+n^2, 2019+n^2+2n+1)\\ &=(2019+n^2, 2n+1)=(4038+2n^2, 2n+1)\\ &=(4038+2n^2-2n^2-n, 2n+1)=(4038-n, 2n+1)\\ &=(8076-2n, 2n+1)=(8077, 2n+1)=8077 \end{align*} $2n+1=8077$ гэдгээс $n=4038$ үед Хариу: $(a_{4038}, a_{4039})=8077$
Эвклидийн алгоритм хэрэглэвэл \begin{align*} (a_n,a_{n+1}) &=(2019+n^2, 2019+(n+1)^2)=(2019+n^2, 2019+n^2+2n+1)\\ &=(2019+n^2, 2n+1)=(4038+2n^2, 2n+1)\\ &=(4038+2n^2-2n^2-n, 2n+1)=(4038-n, 2n+1)\\ &=(8076-2n, 2n+1)=(8077, 2n+1)=8077 \end{align*} $2n+1=8077$ гэдгээс $n=4038$ үед Хариу: $(a_{4038}, a_{4039})=8077$
4. 2 нэгж өргөнтэй 3 нэгж урттай тэгш өнцөгт дотор 36 нэгж урттай тахир шугам багтаав (өөрийгөө огтолсон байж болно). Уг тахир шугамыг 10-аас цөөн удаа огтолсон тэгш өнцөгтийн аль нэг талтай параллел шулуун олдоно гэж харуул.