Бага сунгаа VI, 12-р анги   

1. Тойрог дээр $1,2,\ldots,n$ гэж дугаарласан $n$ цэг байв. 1 дүгээр цэгээс бусад бүх цэг дээр тус бүр нэг даам байрлуулав. Даам нь хөрш цэг дээрх даамыг давж иднэ (хөрш цэгийн дараагийн цэг хоосон үед идэх үйлдэл зөвшөөрөгдөнө). $n=2020$ үед ганц даам үлдэх боломжтой юу?

2. Аль ч хоёр тал нь параллел биш $ABCD$ багтсан дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд нь $E$ цэгт огтлолцдог. $AB$, $CD$ талуудын дундаж харгалзан $F$, $G$ ба $\ell$ нь $G$-г дайрсан $AB$-тэй параллел шулуун. $E$ цэгээс $\ell$ ба $CD$-д буулгасан перпендикулярын сууриуд харгалзан $H$ ба $K$ бол $EF\perp HK$ гэж батал.

3. Аль ч хоёрынх нь нийлбэр бодит язгуургүй, аль ч гурвынх нь нийлбэр бодит язгууртай байх дөрвөн олон гишүүнт олдох уу?

4. $n$ нь эерэг бүхэл тоо. $b(n)$ нь хоёртын тооллын бичвэр нь $n$ тооны хоёртын тооллын бичвэрийн хэсэг болдог тоонуудын тоо. Жишээ нь $b(13)=6$ учир нь $13=1101_2$, $6=110_2$, $5=101_2$, $3=11_2$, $2=10_2$, $1=1_2$ гэсэн 6 ширхэг тоо байна. Тэгвэл

1. $n\le 1024$ үед $b(n)\le 32$ гэж батал.
2. $b(n)=32$ байx $n$-г ол.