Бага сунгаа VI, 11-р анги   

1. $x$, $y$, $z$ бодит тоонуудын хувьд $$\left\{\begin{array}{c} x^2-x=yz+1\\ y^2-y=zx+1\\ z^2-z=xy+1 \end{array}\right.$$ нөхцөл биелдэг бол $x+y+z+xy+yz+zx$ илэрхийллийн авч болох боломжит утгуудыг тодорхойл.

2. $a$, $b$ нь $a+b$, $2a-1$, $2b-1$ нь бүгд анхны тоо байдаг эерэг бүхэл тоонууд байг. Тэгвэл $a^b+b^a$, $a^a+b^b$ тоонуудын аль нь ч $a+b$-д хуваагдахгүй гэж батал.

3. $G$ нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт байг. Доорх нөхцөлийг хангах $X$ цэг олддог байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $G$ нь параллелограмм гэж батал.

$\ast\quad X$ цэгийг дайрсан шулуун бүр $G$-ийн талбайг тэнцүү хоёр хэсэгт хуваадаг.

4. $A_1,A_2,\dots,A_m$ нь $\{1,2,\dots,n\}$ олонлогийн 3 элементээс тогтсон дэд олонлогууд байг. Хэрэв $A_1,A_2,\ldots,A_m$-ийн аль ч хоёр нь ерөнхий элементтэй бол $m\le C_{n-1}^2$ болохыг харуул.