Бага сунгаа VI, 9-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 180 мин
1. Дурын өгөгдсөн 35 бүхэл тооноос аль нэгэн 23 тоог сонгож аваад тоо тус бүр дээр нэгийг нэмэх үйлдэл зөвшөөрөгджээ. Энэ үйлдлээр бүх 35 тоог тэнцүү болгож чадна гэж батал.
Заавар Бодолт
Заавар. $(35,23)=1$ тул $35x+23y=1$ байх $x$, $y$ бүхэл тоонууд олдоно.
Бодолт. Хэсэг үйлдлийн дараа аль нэг тоог бусдаас нь 1-ээр илүү нэмэгдүүлж чаддаг бол бүх тоог тэнцүү болгож чадах нь ойлгомжтой. Эвклидийн алгоритмаар $35x=23y-1$ байх $x$, $y$ натурал тоонууд оршин байна. Сонгосон тооноос эхлээд тоо бүрийг жигд нэмэгдүүлээд явахад $y-1$ удаа үйлдэл хийсний дараа сонгосон тооноос ялгаатай $22$ тоо $x-1$-ээр, бусад нь $x$-ээр нэмэгдсэн байна. Дараагийн ээлжинд сонгосон тоо болон үлдсэн 22 тоон дээр 1-ийг нэмбэл сонгосон тоо $x+1$-ээр, бусад нь $x$-ээр нэмэгдсэн байна. Иймд бүх тоог тэнцүү болгож чадна.
2. $a$, $b$, $c$ эерэг бодит тоонуудын хувьд
$$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{c}$$
тэнцэтгэл бишийг батал. Тэнцэлдээ хүрэх нөхцөлийг тодорхойл.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{c}\Leftrightarrow$$
$$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}\Leftrightarrow$$
$$\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}$$
Кошийн тэнцэтгэл бишээр
$$\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)+\dfrac{c}{ab}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)\cdot\dfrac{c}{ab}}\ge$$
$$\ge2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+2ab}{ab}\cdot\dfrac{1}{ab}}=2\sqrt{\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)^2}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}$$
Тэнцэлдээ хүрэх нөхцөл нь
$$\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)=\dfrac{c}{ab}$$
буюу $c=a+b$ байна.
3. $x$, $y$ бүхэл тоонууд ба $p$ анхны тоо байг. $x^2-3xy+p^2y^2=12p$ нөхцөл биелдэг байх бүх $(x,y,p)$ гурвалыг ол.
4. $AB$ хэрчим дээр $C$ цэг оршино. $AB$, $AC$, $CB$ диаметртэй $\omega$, $\omega_1$, $\omega_2$ тойргууд ба $C$ цэгийг дайрсан $AB$ хэрчимд перпендикуляр $\ell$ шулуун байгуулав. $\omega_1$, $\omega$ тойргууд ба $\ell$ шулууныг шүргэх тойрог нь $\omega_2$, $\omega$ тойргууд ба $\ell$ шулууныг шүргэх тойрогтой тэнцүү болохыг батал.