ММО-55, Дунд ангийн багш
Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 540 мин
1. $p \ge 2$ анхны тоо ба $p$ тоотой харилцан анхны $a$, $b$ натурал тоонууд өгөгдөв. $(a^{p-1}-1)+55(b^{p-1}-1)$ нийлбэр $p^2$-д хуваагддаг бол $(a^{p(p-1)}-1)+55(b^{p(p-1)}-1)$ нийлбэр $p^3$-д хуваагдана гэж харуул.
2. $0 < x_0 < 1$ ба $n \ge 1$ үед
$$x^{2n-1}_n = x_{n-1}\cos x_n$$
байдаг $\{x_n\}$ дарааллын хувьд $\{n(1-x_n)\}$ дараалал зааглагдсан гэж харуул.
3. $I$ төвтэй $\omega$ тойргийг багтаасан, $O$ төвтэй $\Omega$ тойрогт багтсан $ABCD$ гүдгэр
дөрвөн өнцөгтийн $AC$, $BD$ диагнолиуд $E$ цэгт огтлолцоно. $\omega$ тойрог $AD$, $AB$ талуудыг
харгалзан $P$, $Q$ цэгүүдэд шүргэх ба $E$ цэгээс $PQ$ шулуунд буулгасан перпендикулярын
суурь $T$ бол $AO$ ба $IT$ шулуунууд $\Omega$ тойрог дээр огтлолцоно гэж батал.
4. $a^2_1+ \dots + a^2_n$ нийлбэр $(a_1 + \dots + a_n)^2 - 1$ тоог хуваадаг байх $a_1,\dots, a_n$
натурал тоонууд олддог чанартай хамгийн бага натурал $n$ тоог ол.
5. Огторгуйд өгөгдсөн тэг биш 7 вектороос хоорондох өнцөг нь хурц байх хоёр вектор сонгож чадна гэж харуул.
6. Сондгой тоо $k$ ба бүхэл коэффициенттэй $k$ зэргийн $Q(X)$ олон гишүүнт
өгөгдөв. Дурын бүхэл $n$ тооны хувьд $P(n) = Q(m)$ байх бүхэл $m$ тоо олддог чанартай бүх
бодит коэффициенттэй $k$ зэргийн $P(X)$ олон гишүүнтийг ол.