ММО-55, 10-р анги

Дунд ангилал   

Бодлогын тоо: 6    Хугацаа: 540 мин


1. $-3\le x, y\le 3$ тоонуудын хувьд $$0\le(x^2+1)(y^2+1)+4(x-1)(y-1)\le164$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

Заавар Бодолт
Заавар. Шинээр бүлэглэж бүтэн квадрат ялгах арга ашигла.

Бодолт. \begin{align*} \text{Илэрх.}&=(x^2+1)(y^2+1)+4(x-1)(y-1)\\ &=x^2y^2+x^2+y^2+1+4xy-4x-4y+4\\ &=(x^2y^2+4xy+4)+(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)-7\\ &=(xy+2)^2+(x-2)^2+(y-2)^2-7 \end{align*} ба $-3\cdot 3+2\le xy+2\le 3\cdot 3+2$ буюу $(xy+2)^2\le 11^2=121$ байна. Түүнчлэн $-5\le x-2,y-2\le 1$ тул $$(xy+2)^2+(x-2)^2+(y-2)^2-7\le 121+(-5)^2+(-5)^2-7=164$$ байна.


2. $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$ бөгөөд $\angle BCD < 90^\circ$ байх $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. $P$, $Q$ цэгүүдийг $\angle APC=\angle AQC=\angle BCD$ байхаар харгалзан $CB$, $CD$ цацрагууд дээрээс авав. $BCDE$ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болдог $E$ цэгийн хувьд $EDB$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $PQ$ хэрчмийн дундаж цэг болно гэж батал.


3. Натурал $m$, $n$ тоонуудын хувьд $A = m^4 + 3m^2n^3 + n$ тоо $$B = n^3 + 4mn^2 + 3m^2n + 4m^3 - 1$$ тоонд хуваагддаг бол $B$ тоо ямар нэг анхны тооны 4 зэрэгтэд хуваагдана гэж батал.


4. Натурал $n$ тооны хамгийн том анхны тоон хуваагчийг $P(n)$ гэж тэмдэглэе. $P(n - 1)$, $P(n)$, $P(n + 1)$ тоонууд бүгдээрээ $2\sqrt{n}$ тооноос бага байдаг $n\ge 2^{2019}$ тоо олдоно гэж харуул.


5. Элдэв талт $ABC$ гурвалжинд багтсан $I$ төвтэй тойрог $BC$ талыг $E$ цэгт шүргэх ба $AI$ шулуун $BC$ талыг $F$ цэгт огтолно. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AEF$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $A$ цэгээс ялгаатай $D$ цэгт огтолдог бол $\angle ADI = 90^\circ$ гэж батал.


6. Сондгой тооны сурагчтай анги байв. Сурагч бүр ядаж нэг найзтай ба ерөнхий найзтай ямар ч хоёр сурагч ялгаатай тооны найзтай.
  1. яг 3 найзтай сурагч үргэлж олдох уу?
  2. яг 6 найзтай сурагч үргэлж олдох уу?