ММО-55, 10-р анги
Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 540 мин
1. $-3\le x, y\le 3$ тоонуудын хувьд
$$0\le(x^2+1)(y^2+1)+4(x-1)(y-1)\le164$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
Заавар Бодолт
Заавар. Шинээр бүлэглэж бүтэн квадрат ялгах арга ашигла.
Бодолт. \begin{align*}
\text{Илэрх.}&=(x^2+1)(y^2+1)+4(x-1)(y-1)\\
&=x^2y^2+x^2+y^2+1+4xy-4x-4y+4\\
&=(x^2y^2+4xy+4)+(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)-7\\
&=(xy+2)^2+(x-2)^2+(y-2)^2-7
\end{align*}
ба $-3\cdot 3+2\le xy+2\le 3\cdot 3+2$ буюу $(xy+2)^2\le 11^2=121$ байна. Түүнчлэн $-5\le x-2,y-2\le 1$ тул
$$(xy+2)^2+(x-2)^2+(y-2)^2-7\le 121+(-5)^2+(-5)^2-7=164$$
байна.
2. $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$ бөгөөд $\angle BCD < 90^\circ$ байх $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. $P$, $Q$ цэгүүдийг $\angle APC=\angle AQC=\angle BCD$ байхаар харгалзан $CB$, $CD$ цацрагууд дээрээс авав. $BCDE$ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болдог $E$ цэгийн хувьд $EDB$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $PQ$ хэрчмийн дундаж цэг болно гэж батал.
3. Натурал $m$, $n$ тоонуудын хувьд $A = m^4 + 3m^2n^3 + n$ тоо
$$B = n^3 + 4mn^2 + 3m^2n + 4m^3 - 1$$
тоонд хуваагддаг бол $B$ тоо ямар нэг анхны тооны 4 зэрэгтэд хуваагдана гэж батал.
4. Натурал $n$ тооны хамгийн том анхны тоон хуваагчийг $P(n)$ гэж тэмдэглэе.
$P(n - 1)$, $P(n)$, $P(n + 1)$ тоонууд бүгдээрээ $2\sqrt{n}$ тооноос бага байдаг $n\ge 2^{2019}$ тоо олдоно
гэж харуул.
5. Элдэв талт $ABC$ гурвалжинд багтсан $I$ төвтэй тойрог $BC$ талыг $E$ цэгт шүргэх ба $AI$ шулуун $BC$ талыг $F$ цэгт огтолно. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AEF$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $A$ цэгээс ялгаатай $D$ цэгт огтолдог бол $\angle ADI = 90^\circ$ гэж батал.
6. Сондгой тооны сурагчтай анги байв. Сурагч бүр ядаж нэг найзтай ба
ерөнхий найзтай ямар ч хоёр сурагч ялгаатай тооны найзтай.
- яг 3 найзтай сурагч үргэлж олдох уу?
- яг 6 найзтай сурагч үргэлж олдох уу?