IMO-56, 2015, Тайланд   

1. Хавтгайн төгсгөлөг тооны цэгүүдээс тогтох $\mathcal S$ олонлогийн ялгаатай дурын $A$ ба $B$ цэгүүдийн хувьд $AC=BC$ байх $C\in\mathcal S$ цэг олдож байвал $\mathcal S$-ийг тэнцвэрт олонлог гэж нэрлэе. $\mathcal S$ олонлогийн ялгаатай дурын $A$, $B$ ба $C$ цэгүүдийн хувьд $PA=PB=PC$ байх $P\in\mathcal S$ цэг олдохгүй бол $\mathcal S$-ийг төвгүй олонлог гэе.

1. Бүхэл тоо $n\ge 3$ бүрийн хувьд $n$ ширхэг цэгтэй тэнцвэрт олонлог олдохыг үзүүл.
2. $n$ ширхэг цэгтэй тэнцвэрт, төвгүй олонлог оршин байх бүх бүхэл $n\ge3$-ийг ол.

2. $ab-c$, $bc-a$, $ca-b$ тоонууд бүгд $2$-ын зэрэгт байх бүх эерэг тоон $(a,b,c)$ гурвалыг ол (Ямар нэг сөрөг биш $n$-ийн хувьд $2^n$ хэлбэртэй бичигдэх тоог $2$-ын зэрэг гэнэ).

3. $AB>AC$ байх хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжин өгөв. $\Gamma$ нь түүнийг багтаасан тойрог, $H$ нь орто төв, $F$ нь $A$ оройгоос татсан өндрийн суурь болог. $BC$ талын дундаж цэгийг $M$ гэе. $Q$ нь $\Gamma$ дээрх $\angle HQA=90^\circ$ байх цэг, $K$ нь $\Gamma$ дээрх $\angle HKQ=90^\circ$ байх цэг. Энд $A$, $B$, $C$, $K$ ба $Q$ цэгүүд давхардахгүй бөгөөд $\Gamma$ тойрог дээр энэ дарааллын дагуу байрласан гэж үзнэ. $KQH$ ба $FKM$ гурвалжныг багтаасан тойргууд шүргэлцэнэ гэж батал.

4. $ABC$ гурвалжин нь $O$ төвтэй $\Omega$ тойрогт багтдаг. $A$ цэгт төвтэй $\Gamma$ тойрог $BC$ хэрчмийг $D$ ба $E$ цэгүүдээр огтолдог бөгөөд $B$, $D$, $E$ ба $C$ цэгүүд $BC$ шулуун дээр энэ дарааллын дагуу бүгд ялгаатай байрладаг. $\Gamma$ ба $\Omega$ тойргууд $F$ ба $G$ цэгүүдээр огтлолцдог бөгөөд $\Omega$ тойрог дээр $A$, $F$, $B$, $C$ ба $G$ гэсэн дарааллын дагуу байрладаг. $BDF$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AB$ хэрчимтэй огтлолцох 2 дахь цэгийг $K$ гэе. $CGE$ гурвалжныг багтаасан тойрог $CA$ хэрчимтэй огтлолцох 2 дахь цэгийг $L$ гэе. $FK$ ба $GL$ шулуунууд ялгаатай бөгөөд $X$ цэгт огтлолцдог байг. $AO$ шулуун $X$ цэгийг дайрна гэж батал.

5. Дурын бодит $x$, $y$ тоонуудын хувьд $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$ байх бүх $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ функцийг ол. Энд $\mathbb R$-ээр бодит тоон олонлогийг тэмдэглэв.

6. Бүхэл тоон $a_1,a_2,\dots$ дараалал дараах нөхцөлүүдийг биелүүлдэг. Үүнд:

1. Бүхэл тоо $j\ge1$ бүрийн хувьд $1\le a_j\le 2015$;
2. Бүхэл тоонууд $1\le k < \ell$ бүрийн хувьд $k+a_k\neq \ell+a_{\ell}$.

$n>m\ge N$ байх дурын бүхэл $m$, $n$ тоонуудын хувьд $$\Big|\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\Big|\le 1007^2$$ биелэх эерэг бүхэл $b$ ба $N$ тоонууд олдохыг батал.