Их сунгаа 2019, Дунд ангийн багш
Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 480 мин
1. $1,2,\ldots,n$ тоонуудын бүх боломжит $a_1,a_2,\ldots,a_n$ сэлгэмэлийн хувьд
$$\dfrac{1}{a_1(a_1+a_2)(a_1+a_2+a_3)\dots(a_1+a_2+\dots+a_n)}$$
илэрхийллийн утгыг олжээ. Олсон бүх утгын нийлбэр нь $\dfrac{1}{n!}$ гэж батал.
2. Натурал $a$, $b$, $c$ тоонууд өгөгджээ. Ямар нэг натурал $k$ тооны хувьд $a^k+bc$, $b^k+ca$, $c^k+ab$ тоонууд нь $1$-ээс их ерөнхий хуваагчтай байхыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар. $p\mid abc+1$ байх $p$ анхны тоог авч үз.
Бодолт. $p\mid abc+1$ гэвэл
$$\left\{\begin{array}{c}
bc\equiv -a^{-1}\pmod{p}\\
ca\equiv -b^{-1}\pmod{p}\\
ab\equiv-c^{-1}\pmod{p}
\end{array}\right.$$
байна. Бид
$$\left\{\begin{array}{c}
a^k+bc\equiv a^k-a^{-1}\equiv0\pmod{p}\\
b^k+ca\equiv b^k-b^{-1}\equiv0\pmod{p}\\
c^k+ab\equiv c^k-c^{-1}\equiv0\pmod{p}
\end{array}\right.$$
байх $k$ тоог олоход хангалттай. Фермагийн бага теоремоор $\forall x\colon (x,p)=1$ тооны хувьд $x^{p-2}\equiv x^{-1}\equiv{p}$ биелэх тул $k=p-2$ нь нөхцөлийг хангах тоо болно.
3. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд $L$ цэгт огтлолцдог бөгөөд $AD$, $BC$ шулуунууд $M$ цэгт, $AB$, $CD$ шулуунууд $N$ цэгт огтлолцдог байв. $ALD$ өнцгийн биссектрисс шулуун $AD$, $BC$ талуудыг харгалзан $P$, $Q$ цэгт, $ALB$ өнцгийн биссектрисс шулуун $AB$, $CD$ талуудыг харгалзан $S$, $T$ цэгт огтолно. $MPQ$, $NST$, $BSQ$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд нэг ерөнхий цэгтэй гэдгийг батал.
4. Натурал $a$, $b$ тоо өгөгджээ. $c<10\cdot a$ бөгөөд $c\dot b$ үржвэрийн аравтын бичлэг нь $a$ тоогоор эхэлдэг байх натурал тоо $c$ олдохыг харуул.
5. Сургуульд параллель 3 анги байсан бөгөөд өөр ангийн зарим хүүхдүүд хоорондоо дайсагналцдаг байв (анги дотроо дайсан байхгүй). Хүүхэд бүрийн хувьд түүний нөгөө 2 ангид байгаа дайсны тоо хоорондоо ижил байжээ. Өөр өөр ангийн ерөнхий дайсантай хос хүүхдийн тоо нь дайсагналцдаг нийт хосын тооноос цөөнгүй гэж батал.
6. Эерэг $a_1,a_2,\dots,a_n$, $b_1,b_2,\dots,b_n$, $c_1,c_2,\dots,c_n$ тоонууд өгөгджээ. $1\le\ell\le n$ үед $\max\{i,j,k\}=\ell$ байх бүх боломжит $i$, $j$, $k$ дугааруудын хувьд $a_ib_jc_k$ үржвэрүүдийн хамгийн ихийг $m_{\ell}$ гэж тэмдэглэе.
$$(a_1+a_2+\dots+a_n)(b_1+b_2+\dots+b_n)(c_1+c_2+\dots+c_n)\le n^2(m_1+m_2+\dots+m_n)$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.