Их сунгаа 2019, 12-р анги
Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 480 мин
1. Натурал $a$, $b$, $c$ тоонууд өгөгджээ. Ямар нэг натурал $k$ тооны хувьд $a^k+bc$, $b^k+ca$, $c^k+ab$ тоонууд нь $1$-ээс их ерөнхий хуваагчтай байхыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар. $p\mid abc+1$ байх $p$ анхны тоог авч үз.
Бодолт. $p\mid abc+1$ гэвэл
$$\left\{\begin{array}{c}
bc\equiv -a^{-1}\pmod{p}\\
ca\equiv -b^{-1}\pmod{p}\\
ab\equiv-c^{-1}\pmod{p}
\end{array}\right.$$
байна. Бид
$$\left\{\begin{array}{c}
a^k+bc\equiv a^k-a^{-1}\equiv0\pmod{p}\\
b^k+ca\equiv b^k-b^{-1}\equiv0\pmod{p}\\
c^k+ab\equiv c^k-c^{-1}\equiv0\pmod{p}
\end{array}\right.$$
байх $k$ тоог олоход хангалттай. Фермагийн бага теоремоор $\forall x\colon (x,p)=1$ тооны хувьд $x^{p-2}\equiv x^{-1}\equiv{p}$ биелэх тул $k=p-2$ нь нөхцөлийг хангах тоо болно.
2. $ABC$ гурвалжны $AD$ биссектрисс дээр $P$ цэгийг сонгон авчээ. $BP$ шулуун гурвалжны $AC$ талыг $E$ цэгт, $CP$ шулуун $AB$ талыг $F$ цэгт огтолно. $AEF$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $A$ оройд татсан шүргэгч шулуун нь $BC$ шулууныг $Q$ цэгт огтолдог бол $QA=QP$ гэдгийг батал.
3. Нэг тойрогт багтсан $n$ ширхэг гурвалжин өгөгдсөн бөгөөд өгсөн гурвалжнуудын бүх орой нь ялгаатай байв. Улаан, хөх цэгүүд нь тойрог дээр сөөлжилж байхаар гурвалжин тус бүрийн нэг оройг улаан өнгөөр, нэг оройг хөх өнгөөр будаж болохыг харуул.
4. Натурал $n$ тооноос бага $n$-тэй харилцан анхны бүх натурал тоог $a_1 < a_2 < \dots < a_k$ гэж эрэмбэлэв. $a_1+a_2$, $a_2+a_3,\ldots,a_{k-1}+a_k$ нийлбэрүүд нь бүгд $3$-д хуваагддаггүй байх бүх $n$ тоог ол.
5. $AB=BC$ хажуу талуудтай адил хажуут $ABC$ гурвалжны $BC$, $CA$, $AB$ талууд дээр харгалзан $D$, $E$, $F$ цэгүүдийг $BDEF$ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм байхаар сонгон авчээ. $ABC$ гурвалжныг багтаасаан тойргийн $B$ оройг үл агуулах $AC$ нумын дундаж цэг $M$ бөгөөд $DF$, $ME$ шулуунууд нь $K$ цэгт огтлолцоно. $EL$ нь $DEF$ гурвалжны биссектрисс бол $A$, $K$, $L$, $C$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршихыг батал.
6. Эерэг $a_1,a_2,\dots,a_n$, $b_1,b_2,\dots,b_n$, $c_1,c_2,\dots,c_n$ тоонууд өгөгджээ. $1\le\ell\le n$ үед $\max\{i,j,k\}=\ell$ байх бүх боломжит $i$, $j$, $k$ дугааруудын хувьд $a_ib_jc_k$ үржвэрүүдийн хамгийн ихийг $m_{\ell}$ гэж тэмдэглэе.
$$(a_1+a_2+\dots+a_n)(b_1+b_2+\dots+b_n)(c_1+c_2+\dots+c_n)\le n^2(m_1+m_2+\dots+m_n)$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.