Заавар.

Бодолт. $(1, 2, 3)$ шийд болохыг хялбархан шалгаж болох тул өөр шийдгүй гэж харуулъя. $a \ge 1$, $b \ge a+1$, $c \ge b+1$ тул $c \le 3$ гэж харуулахад хангалттай. $c \ge 4$ гэвэл $$(a^2 +c^2)(b^2 +1)-(ac+b)^2 = (b^2 -a^2)(c^2 -1)+(ab-c)^2 \ge (2a+1)(c^2 -1) \ge 3\cdot 15$$ болж зөрчил гарна.

Заавар.

Бодолт. $PA$ шүргэгч ба $PA \parallel EF$ гэдгээс $\angle ABC = \angle PAC = \angle AEB$ буюу $ABC \sim AEB$ байна. Эндээс $\dfrac{BE}{BC} = \dfrac{AB}{AC}$ болно. Яг адил $\angle ABF = \angle PAB = \angle ADB$ буюу $ABF \sim ADB$ гэдгээс $\dfrac{BF}{BD} = \dfrac{AB}{AD}$ байна. Иймд $\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BD}{AD}$ гэж батлахад хангалттай.

$PA$ ба $PB$ шүргэгч гэдгээс $PCA \sim PAD$ ба $PBC \sim PDB$ байна. Эндээс $\dfrac{AC}{AD} = \dfrac{PC}{PA}$ ба $\dfrac{BC}{BD} = \dfrac{PC}{PB}$ болно. Нөгөө талаас $PA = PB$ тул $\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BD}{AD}$ болж батлагдана.

Заавар.

Бодолт. $i$ дугаартай зогсоолыг $n + 1 - i$ гэж шинээр дугаарлахад зогсоолууд мөн л $1, 2, \dots , n$ тоогоор дугаарлагдана. Зөв байрлуулалтын хувьд машин бүрийн дугаар дээр уг машин зогссон зогсоолын шинэ дугаарыг нэмэхэд гарах $n$ нийлбэр бүгд ялгаатай байна. Учир нь $k$ дугаартай $i$ зогсоолд зогссон машины шинэ зогсоолын дугаар ба машины дугаарын нийлбэр $n + 1 + (k - i)$ юм.

Иймд машины болон зогсоолын дугаарын нийлбэрүүд бүгд ялгаатай байх байрлалын тоог сондгой гэж үзүүлэхтэй манай бодлого ижил юм. Энэ чанартай байрлалыг цаашид зөв гэе. $i$ дугаартай зогсоолд $x_i$ дугаартай машин зогссон байрлалыг $(x_1, \dots , x_n)$ гэж тэмдэглэе. $(1, \dots , n)$ байрлал зөв учраас ямар нэг $i$ дугаарын хувьд $x_i \neq i$ байх зөв байрлалын тоог тэгш гэж үзүүлэхэд хангалттай.

$(x_1, \dots , x_n)$ байрлал өгөгдсөн үед $x_i$ дугаартай зогсоолд $i$ дугаартай машиныг зогсоох замаар шинэ байрлал байгуулья. Хэрэв анхны байрлал зөв бол шинэ байрлал мөн зөв байна. Одоо энэ хоёр байрлал ялгаатай гэдгийг үзүүлье. $(x_1, \dots , x_n)$ зөв учраас $x_i \neq i$ байх ямар нэг $i$ дугаар олдоно. Энэ байрлалын $i$ дугаартай машин $y_i$ дугаартай зогсоолд зогссон гэвэл $x_i \neq y_i$ байна. Эсрэг тохиолдолд $i + x_i = y_i + i$ болж зөрчил гарна. Шинээр байгуулсан зөв байрлалын $i$ дугаартай зогсоолд $y_i$ дугаартай машин зогсох тул $(x_1, \dots , x_n)$-с ялгаатай. Үүгээр бодлого бодогдов.

Заавар.

Бодолт. $AP$ шулууны $\omega$ тойргийг огтлох шинэ цэгийг $C$ гэе. Тэгвэл $\angle BPF = \angle APE = \angle CPF$ гэдгээс $B$ ба $C$ цэгүүд нь $EF$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэгүүд байна. Иймд $\triangle BPO = \triangle CPO$ болох ба $OA = OC$ гэдгээс $\angle OBP = \angle OCP = \angle OAP$ тул $A$, $O$, $P$, $B$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршино.

Заавар.

Бодолт. $M = \max\{a, b, c\}$ гэе. Эхлээд $M \le \sqrt5 - 1$ гэж харуулъя. $$\dfrac{2 - c}{2}=\dfrac{a + b}{2}\le \sqrt[3]{\dfrac{a^3 + b^3}{2}}=\sqrt[3]{\dfrac{2 - c^3}{2}}$$ тул $4(2-c^3)-(2-c)^3 \ge 0$ байна. Эндээс $3c(c^2 +2c-4) \le 0$ буюу $c \le \sqrt5-1$ болно. Мөн ижлээр $a, b \le \sqrt5-1$ тул $M \le \sqrt{5}-1$ байна.

Эцэст нь $$(a,b,c) = \left(\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2},\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}, \sqrt{5} - 1\right)$$ гурвал бодлогын нөхцөл хангах тул $M = \sqrt{5}-1$ утга авна.

Заавар.

Бодолт. $n = 2019$ ба $B =\underbrace{11\dots1}_n$ гэж тэмдэглэе. Эхлээд $9B$-д хуваагдах тооны цифрүүдийн нийлбэр $9n$-с багагүй гэдгийг үзүүлье. $A$ нь $1$ ба $2$ цифрээр бичигдэх $9B$-д хуваагдах тоо болог. $A$ тооны $n$-д хуваахад $k$ $(0 \le k < n)$ үлдэгдэл өгөх дугаартай цифрүүдийн нийлбэрийг $S_k$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл $A \equiv\sum_{n-1} 10^kS_k \pmod{9B}$. Иймээс $$A\equiv\sum_{k=0}^{n-2}(S_k-S_{k-1})10^k\equiv0\pmod{B}$$ $A$ тооны оронгийн тоог $m$ гэвэл $S_k$ нь $[m/n] + 1$-ээс ихгүй, $[m/n]$-ээс багагүй тооны цифрүүдийн нийлбэр болно. Хэрэв $A$ тооны цифрүүдийн нийлбэр $9n$-с ихгүй гэвэл түүний оронгийн тоо $9n$-ээс бага байна. Иймд $m < 9n$ буюу $[m/n] < 9$ болох тул ямар ч $k$ дугаарын хувьд биелнэ. Иймд $$|S_k -S_{n-1}| \le 2([m/n]+1)-[m/n] \le 10$$ биелэнэ. Иймд $$\sum_{k=0}^{n-2}|S_k-S_{n-1}|\cdot 10^k \le 10\sum_{k=0}^{n-2}10^k < B$$ болох учраас (1)-ээс $S_{n-1} = S_k\ (\forall k)$ болно. $A$ тооны цифрүүдийн нийлбэр $nS_0$ болох ба улмаар $$\sum_{k=0}^{n-1}10^kS_k=S_0B\le 9B$$ болох тул $A \equiv 0 \pmod{9B}$ гэдгээс $S_0 = 9$ болно. Бид хамгийн бага тоог хайж буй тул $S_0 = 1+2+2+2+2$ гэж үзэхэд явцуурахгүй. Иймд $m = 5n$ болох тул хариунд буй тоо хамгийн бага нь байна.