ММО-55, II даваа, 9-р анги

9-р анги   

Бодлогын тоо: 6    Хугацаа: 540 мин

1. Зарим натурал тоог сайн тоо гэх ба сайн тоонууд дараах чанаруудтай гэе. Үүнд:

а) $55$ сайн тоо.

б) $n$ сайн тоо бол $n$ тооны бүх хуваагч сайн тоо.

в) $n > m > 1$ сайн тоонууд бол $nm + 1$ сайн тоо.

$2019$ сайн тоо гэж батал.

Заавар Бодолт
Заавар. 9 цифр байрлах нүд тус бүр дээр бод.

Бодолт. $55$ сайн тоо тул $5$, $11$ сайн тоо болно. Иймд $56 = 5\cdot 11 + 1$ сайн тоо болох тул $2$, $4$, $7$, $8$ сайн тоо болно. $36 = 5\cdot 7 + 1$ сайн тоо тул $6$ сайн тоо болно. Иймд $25 = 4 \cdot 6 + 1$, $126 = 5 \cdot 25 + 1$ сайн тоо болох бөгөөд $1009 = 8 \cdot 126 + 1$ сайн гэдгээс $2019 = 2 \cdot 1009 + 1$ тул $2019$ сайн тоо болов.

2. $\measuredangle ABC = 120^\circ$ байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Хавтгай дээр $\measuredangle ADB = 60^\circ$ байх $D$ цэг, $AC$ тал дээр $AF = 2FC$ байхаар $F$ цэг авав. Хэрэв $DC$ хэрчмийн дундаж цэг $E$ бол $\measuredangle BEF$ өнцгийг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. $D$ ба $C$ цэгүүд $AB$ шулууны хоёр өөр талд байх тохиолдолд бод.

Бодолт.

3. $n$ тооны бүх хуваагчдыг өсөх эрэмбээр нь $1 < d_1 < d_2 < \dots < d_k < n$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл $1 < d_1 + 1 < d_2 + 1 < \dots < d_k + 1 < m$ тоонууд $m$ тооны бүх хуваагчид болдог байх бүх $(n, m)$ хосыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. Болохгүй гэдгийг харуул. Тоонууд тэнцүү байж болохыг санаарай.

Бодолт. Тийм будалт байхгүй гэж харуулъя. Эсрэгээс нь тийм будалт олддог гэе. Энэ будалтанд 1 улаанаар будагдсан гэж үзье. Тэгээд цаашид $n$ тоо улаанаар будагдсан бол $n^R$, хөх бол $n^B$ гэнэ. $a+b+c=d$ ижил өнгөөр будагдаагүй гэдгээс $1^R+1^R+1^R=3\Rightarrow 3^B$, $3^B+3^B+3^B=9\Rightarrow 9^R$, $1^R+4+4=9^R\Rightarrow 4^B$. Эндээс $$1^R+1^R+9^R=11\Rightarrow 11^B, 3^B+4^B+4^B=11\Rightarrow 11^R$$ болж зөрчил үүсч байна. Иймд ийм будалт олдохгүй.

4. Аль ч таван тооных нь нийлбэр үлдсэн хоёр тоондоо хуваагддаг 7 натурал тоо өгөгдсөн бол эдгээр тоонууд дотор хамгийн олондоо хэдэн ялгаатай тоо байх вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. Зөвхөн 2 ялгаатай тоо байж болохыг харуул.

Бодолт. $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $5$ тоонууд бодлогын нөхцөл хангах тул $2$ ялгаатай тоотой жишээ олдоно. Одоо 2-оос хэтрэхгүй гэж харуулъя. Тоонуудаа $a_1\le a_2\le\dots\le a_7$ гэе. $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ ба $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$ нийлбэрүүд $a_7$-д хуваагдах тул $a_6-a_1$ ялгавар $a_7$-д хуваагдана. $a_6-a_1 < a_7$ гэдгээс $a_1 = a_6$ болно. Иймд $a_1=\dots= a_6$ байна.

5. $AC=CB$ байх $ABC$ адил хажуут гурвалжны $AB$ суурь дээр $M$, $N$ цэгүүдийг $2\measuredangle MCN = \measuredangle ACB$ байхаар сонгов. $AM$, $MN$, $NB$ хэрчмүүд ямар нэг гурвалжны талууд болно гэж батал.

Заавар Бодолт
Заавар. Өгсөн хэрчмүүдээр гурвалжин байгуул.

Бодолт. $ACB$ гурвалжны гадна $A'$ цэгийг $MA=A'B$, $MC=A'C$, $\angle AMC=\angle BA'C$ байхаар авъя. ТӨТ шинжээр $\triangle AMC=\triangle BA'C$ болно. Өгсөн нөхцөлөөс $\angle NCA'=\angle NCB+\angle NCB+\angle ACM=\angle ACB-\angle MNC=\angle MNC$ болно. Эндээс $MC=CA'$, $\angle MCN=\angle BCA'$, $MC=CA'$ тул ТӨТ шинжээр $MN=BA'$ болно. $AM$, $MN$, $NB$ хэрчмүүдээр гурвалжин байгуулж болох нь батлагдав.

6. 2019-с хэтэрдэггүй 1515 ширхэг ялгаатай натурал тоо өгөгдөв. 3 оронтой ямар ч тоог хоёр өгөгдсөн тооны ялгавар хэлбэртэй бичиж чадахыг харуул.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $100\le N<1000$ нь гурван оронтой тоо болог. Үлдэгдэлтэй хуваах дүрмээр $2019=2Np+r$, $0\le r<2N$ гэж бичье. $2N<2000$ тул $p\ge 1$ баи на. Иймд $2019<2Np+2N \le 4Np$ байх ба эндээс $Np>504$ буюу $$Np+r = 2019-Np<1515\quad(*)$$ байна. Одоо $$A = \{1,2,\dots,2Np\}, B = \{2Np + 1,\dots,2019\}$$ гээд $A$ олонлогийг $Np$ ширхэг олонлогт дараах байдлаар хуваая. $1 \le i \le N$ ба $0 \le j \le p-1$ хувьд $A_{ij} =\{2jN+i,(2j+1)N+i\}$ гэвэл $A$ нь $A_{ij}$ олонлогуудын үл огтлолцох нэгдэл болно. $\{1, 2,\dots, 2019\} = A \cup B$ ба B олонлог $r$ элементтэй тул өгөгдсөн $1515$ тооноос ядаж $1515 - r$ нь $A$ олонлогт агуулагдана. $(*)$-с $Np<1515-r$ тул Дирихлейн зарчмаар ямар нэг $A_{ij}$ олонлог 2 өгөгдсөн тоо агуулах ба энэ 2 тооны ялгавар $N$ байна.