Заавар. 9 цифр байрлах нүд тус бүр дээр бод.

Бодолт. $5^k\mid n$, $5^{k+1}\nmid n$ ба $(n-1)!$ тоо $m$ ширхэг $0$-ээр төгсөх бол $n!$ тоо $m + k$ ширхэг $0$-ээр төгсөнө. Иймд $k\ge 2$ үед $m+1, m+2,\dots, m+k-1$ гэсэн $k-1$ ширхэг тоо онцгой тоотой болно. Жишээ нь $24!$ тоо 4 ширхэг 0-ээр, $25!$ тоо 6 ширхэг 0-ээр төгсөх учир эхний онцгой тоо $5$ байна. $1\cdot 5^2$, $2\cdot5^2$, $3\cdot5^2,\dots,45\cdot5^2$ тоо бүр дор хаяж 1 онцгой тоог үүсгэнэ. Иймд 46 онцгой тоо үүснэ. Мөн $1\cdot 5^3$, $2\cdot5^3$, $3\cdot5^3,\dots,9\cdot5^3$ тоонууд дахин 9 онцгой тоо үүсгэнэ. $5^4$ тоо дахин 1 онцгой тоо үүсгэнэ. Нийт $45+9+1=55$ онцгой тоо үүссэн байна. $(45 · 5^2)!$ тоо $$\dfrac{45\cdot5^2}{5}+\dfrac{45\cdot5^2}{5^2}+\dfrac{45\cdot5^2}{5^3}+\dfrac{45\cdot5^2}{5^4}=225+45+9+1 = 280$$ ширхэг тэгээр төгсөнө. Эндээс 55 дахь онцгой тоо 279 байна.

Заавар. Дуурайх тактик ашигла.

Бодолт. $(2, 1002)$, $(3, 1003),\dots, (999, 1999), (1000, 2000), (2001, 2011),\dots, (2009, 2019)$ гэж $1001$ тоог үлдээж хосуудад хуваая. Бат эхлээд $1001$-ийг сонгоно. Үүнээс цааш Цэцэгийн сонгосон тоотой хос тоог сонгоно. Цэцэг $2,3,\dots,9$ тоонуудыг тус бүр $101$ удаа, $1$ цифрийг $100$ удаа сонгох тул Цэцгийн тоонуудын нийлбэр $$(2+3+\cdots+9)\cdot 101+1\cdot 100\equiv4\pmod{10}$$ цифрээр төгсөнө. Харин Батын тоонуудын нийлбэр $4+1=5$ тул зөв тоглолтод Бат хожино.

Заавар. Дараалсан 2 анхны тоо нь зөвхөн 2 ба 3 юм.

Бодолт.

1. $k = 1$ бол $n=p^2$ хэлбэртэй байх бөгөөд $m=(p + 1)^2$ болох ба $p$, $p+1$ хоёул анхны тоо байх тул $p = 2$ болно. Иймд энэ тохиолдолд $(n, m) = (4, 9)$ байна.
2. $k\ge 2$ болог. $n = d_1d_k = d_2d_{k-1}$ ба $m = (d_1 + 1)(d_k + 1) = (d_2 + 1)(d_{k-1} + 1)$ тул $d_1 + d_k = d_2 + d_{k-1}$ болно. Эндээс $d_1 +\dfrac{n}{d_1}=d_2+\dfrac{n}{d_2}$ болох бөгөөд тэнцүүгийн тэмдгийн нэг талд гаргаад эмхтгэвэл $(d_1 - d_2)\left(1-\dfrac{n}{d_1d_2}\right)=0$ болно. Иймд $n = d_1d_2$ буюу $k=2$ байна. $d_1$ ба $d_1+1$ хоёул анхны тул $d_1 = 2$ байна. Эндээс $d_2 = 4$ эсвэл $d2\ge3$ анхны тоо. Мөн ижлээр $d_2 + 1 = 9$ эсвэл $d_2 + 1\ge5$ анхны тоо. Ганц боломж нь $d_2 = 4$. Иймд $(n, m) = (8, 15)$ болно.

Заавар. а) болохгүй. б) болно.

Бодолт. а) Хүснэгтийн багануудаа зүүнээс баруун $1, 2,\dots,7$, мөрнүүдээ дээрээс доош $1, 2,\dots,7$ гэж дугаарлая. Мөн $i$-р мөр, $j$-р баганы огтлолцолд бичигдсэн тоог $a_{ij}$ гэе. Мөн $1\le i\le 7$ үед $$S_i = a_{1i} + a_{2i} +\dots+ a_{7i} + a_{i1} + a_{i2} +\dots+a_{i7} - a_{ii}$$ нийлбэрийг тэмдэглэе. Энэ нийлбэрт $a_{ii}$ тоо нэг л удаа нэмэгдэнэ. $S_i$ бүр $1, 2,\dots, 15$ гэсэн тоонуудыг нэг удаа агуулах бөгөөд $S_1, S_2,\dots, S_7$ гэсэн $7$ ширхэг нийлбэр байх тул $S_1+S_2+\dots+S_7$ нийлбэрт тоо бүр сондгой удаа байна. Нөгөө талаас $i\neq j$ байх $i$, $j$-ийн хувьд $a_{ij}$ элемент $S_i$, $S_j$ хоёуланд нь нэмэгдэнэ. Диагонал дээр бичигдэхгүй тоо $1,2,\dots,15$ дундаас олдох бөгөөд тэр тоо нийт нэмэгдэхүүнд тэгш удаа орох болж зөрчил үүснэ. Иймд болохгүй.

б) Эхлээд $4\times4$ дээр байгуулъя. Одоо $8\times8$-ийг байгуулахдаа 4 ширхэг $4\times 4$-д хувааж байгаад дээрх санааг ашиглая.