Тусгаар тогтнолын олимпиад, ДБ   

1. Натурал тоонуудын үл буурах $a_1,a_2,\ldots$ дараалал өгөгджээ. Хэрэв өгсөн натурал $n$ тооны хувьд $n=k/a_k$ байх $k$ дугаар олддог бол уг $n$ тоог энэ дарааллын хувьд сайн тоо гэе. Хэрэв $2019$ өгсөн дарааллын хувьд сайн тоо бол $91$ сайн тоо болох уу?

2. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AC$ ба $BD$ диагоналууд тэнцүү бөгөөд $S$ цэгт огтлолцоно. $ASD$ ба $BSC$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд нь харгалзан $\omega_1$ ба $\omega_2$ байг. $\angle ASD$ өнцгийн биссектрис $\omega_1$ ба $\omega_2$ тойргуудыг харгалзан $P$ ба $Q$ цэгүүдээр огтолно. $P$ ба $Q$ цэгүүдээс $\omega_2$ ба $\omega_1$ тойргуудад татсан шүргэгчүүд тэдгээрийг $K$, $L$, $M$, $N$ цэгүүдэд шүргэнэ. Тэгвэл $K$, $L$, $M$ ба $N$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэж батал.

3. $p$ анхны тооны хувьд $1^1,2^2,\dots,(p-1)^{p-1}$ элементүүдийн $p$ модулаарх үлдэгдлүүдийн олонлогийг $R_p$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл $R_p$ олонлогт ордоггүй модул $p$-ээр примитив язгуур дор хаяж 3 олддог байх төгсгөлгүй олон $p$ олдохыг батал.

Санамж: Хэрэв $g^1,g^2,\dots,g^{p-1}$ элементүүд модул $p$-ээр бүгд ялгаатай бол $g\ (1\le g\le p-1)$-г примитив язгуур гэдэг.

4. Хавтгайн ерөнхий байршилтай $2n\ (n\ge3)$ цэгийн гүдгэр бүрхүүл нь $n$ өнцөгт байв. Эдгээр цэгүүдэд оройтой, дотоод муждаа эдгээрийн цэгүүдийн алийг нь ч агуулаагүй гурвалжнуудын тоо $4n^2-9n+4$ тооноос багагүйг батал.