Тусгаар тогтнолын олимпиад, 12-р анги   

1. Ядаж нэг натурал $n$-ийн хувьд $2^{2^n}+2019$ тооны хуваагч болдог анхын тоонуудын олонлог төгсгөлгүй олон гэж батал.

2. Бодит коэффициенттэй $P(x)$ олон гишүүнтийн бүх язгуур нь бодит тоо бол $Q(z)=P(z+i)+P(z-i)$ олон гишүүнтийн бүх язгуур бодит гэж батал. Энд $i^2=-1$.

3. $O$ төвтэй $\Gamma$ тойрогт багтсан $ABC$ гурвалжны $BH$ өндрийн үргэлжлэл тойргийг $P$ цэгт огтолно. $O$ цэгийг дайрсан шулуун $AB$ ба $BC$ талуудыг харгалзан $T$ ба $R$ цэгүүдээр $\overset{\smile}{AB}$ ба $\overset{\smile}{BC}$ нумуудыг $S$ ба $Q$ цэгүүдээр $ST=QR$ байхаар огтолжээ. $PS$ ба $PQ$ хэрчмүүд $AB$ талыг харгалзан $E$ ба $F$ цэгээр огтлох бол $AE=CF$ гэж батал.

4. Дурын $i\in\{1,2,\dots,n\}$ хувьд $1\le|a_i-i|\le2$ биелдэг байх $1,2,\ldots,n$ тоонуудын $\{a_1,\ldots,a_n\}$ сэлгэмлийн тоог $f_n$ гэе. $4f_n>7f_{n-1}$ гэж батал.