Тусгаар тогтнолын олимпиад, 11-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 240 мин
1. Дурын бодит $x,y\neq0$ хувьд $xf(x)-yf(y)=xyf\left(\dfrac{x}{y}\right)$ биелдэг бүх $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ функцийг ол.
2. $ABC$ гурвалжны $BC$ тал дээр $D$ цэг авч $ABD$, $ACD$ гурвалжнуудыг харгалзан $\omega_1$, $\omega_2$ тойрогт багтаав. $\omega_1\cap AC=E\neq A$, $\omega_2\cap AB=F\neq A$, $BE\cap CF=O$, $EF\cap AO=T$ бол $BC\perp DT$ гэж батал.
3. Эерэг бүхэл $n$ бүрийн хувьд $2^n\mid 19^k+21$ байх эерэг бүхэл $k$ олдоно гэж батал.
4. Натурал тоон олонлогийн зарим тоонуудыг улаан өнгөөр будав. Аль ч дараалсан 2019 тоо авахад тэдгээрээс ядаж нэг нь улаан өнгийн тоо байдаг бол нэг нь нөгөөгөө хуваадаг хоёр улаан тоо олдоно гэж батал.