Тусгаар тогтнолын олимпиад, 8-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 180 мин
1. $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$-эерэг бүхэл тоонууд
$$\dfrac{9^{2019}-13\cdot3^{2019}+7}{9^{(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdots(a_{2018}+a_{2019})(a_{2019}+a_1)}-1}$$
бутархай хураагдахыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар. Хүртвэр ба хуваарь нь ямар анхны тоонд хуваагдах вэ?
Бодолт. $$9^{2019}-13\cdot3^{2019}+7\equiv(-1)^{2019}-3^{2020}+2\equiv -1-81^{505}+2\equiv0\pmod{5}$$
байна. Нөгөө талаа
$$(a_1+a_2)+(a_2+a_3)+\dots+(a_{2019}+a_1)\equiv 0\pmod{2}$$
тул нэмэгдэхүүнүүдийн ядаж нэг нь тэгш байна. Иймд
$$(a_1+a_2)(a_2+a_3)\dots(a_{2019}+a_1)\equiv0\pmod{2}$$
болно. Нөгөө талаас $9^{2k}-1\equiv 81^k-1\equiv 0\pmod{5}$ тул бутархай 5-д хураагдана.
2. $\angle A=100^\circ$, $\angle B=20^\circ$ байх $ABC$ гурвалжны дотор $\angle DAB=30^\circ$, $\angle DBA=10^\circ$ байх $D$ цэг авав. $\angle ACD$-г ол.
3. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac54$ тэгшитгэлийн бүх натурал шийдийг ол.
4. $6\le n$, $n\in\mathbb N$ байг. $n\times n$ хөлгийн нүднүүдийг $k$ өнгөөр будав (нэг нүд нэг л өнгөөр будагдана). Морины нүүдлээр хөлгийн зүүн доод булангаас баруун дээд буланд очих зам $k$-аас цөөн өнгийн нүд дамждаг бол түүнийг сайн зам гэе. Тэгвэл
a) $k=n$ үед хөлгийг яаж ч будсан сайн зам олдохыг батал.
б) $k=\left\lfloor\dfrac{2n}{3}\right\rfloor+2$ үед хөлгийг яаж ч будсан сайн зам олддог байх $n$ натурал тоо төгсгөлгүй олон олдохыг батал. Мөн сайн зам олддоггүй байхаар будаж чадах $n$ тоо төгсгөлгүй олон олдохыг батал.
a) $k=n$ үед хөлгийг яаж ч будсан сайн зам олдохыг батал.
б) $k=\left\lfloor\dfrac{2n}{3}\right\rfloor+2$ үед хөлгийг яаж ч будсан сайн зам олддог байх $n$ натурал тоо төгсгөлгүй олон олдохыг батал. Мөн сайн зам олддоггүй байхаар будаж чадах $n$ тоо төгсгөлгүй олон олдохыг батал.