Дүүрэг 2019, 10-р анги   

1. Аливаа натурал $n$, $m$-тоонуудын хувьд $a_2=2$ бөгөөд $a_{nm}=a_na_m$ нөхцөлийг хангах эрс өсдөг бүх натурал тоон дарааллыг ол.

2. $ABCDE$ гүдгэр таван өнцөгтийн талууд болон диагоналуудаар дор хаяж 11 янзын гурвалжин үүсгэж болохыг батал.

3. $\dfrac{(4x-2)}{(x^3-x)}=\dfrac{A}{(x-a)}+\dfrac{B}{(x-b)}+\dfrac{C}{(x-c)}$ тэнцэтгэлийг хангах бүх $A$, $B$, $C$, $a$, $b$, $c$ тоонуудыг ол.

4. $ABC$ гурвалжны $AB$ болон $AC$ талууд дээр харгалзан $DB=BC=CE$ байхаар $D$, $E$ цэгүүдийг тэмдэглэв. $BE$, $CD$ хэрчмүүд $P$ цэг дээр огтлолцдог бол $BDP$ ба $CEP$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг дайран огтлолцоно гэж батал.