Дүүрэг 2019, 9-р анги   

1. Бүхэл тоо $a$, $b$, $c$-ийн кубуудын нийлбэр $a^3+b^3+c^3$ нь 7-д хуваагддаг бол тэдгээрийн үржвэр 7-д хуваагдахыг батал

2. Илэрхийллийн утгыг ол. $$S=\left(\dfrac{1+2}{3}+\dfrac{4+5}{6}+\dfrac{7+8}{9}+\cdots+\dfrac{2017+2018}{2019}\right)+\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{673}\right)$$

3. Самбарт $1,2,\dots,2018$ гэсэн натурал тоонууд бичигдсэн байв. Самбарт бичигдсэн дурын $a$, $b$ тоонуудыг арчаад, оронд нь $|a-b|$ тоог бичих үйлдлийг хийсээр самбарт ганц тоо бичигдэж үлдсэн гэе. Үлдсэн ганц тоо нь хэд байж болох вэ?

4. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $\measuredangle BAC=\measuredangle BDA$ ба $\measuredangle BAD=\measuredangle ADC=60^\circ$ болно. Хэрэв $AB=14$, $CD=6$ бол $AD$ талын уртыг ол.