Дүүрэг 2019, 7-р анги

Дүүрэг 2019, 7-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 150 мин


1. Эхний $n$ ширхэг натурал тоонуудын үржвэрийг $n!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot n$ ($n$-ийн факториал) гэж тэмдэглэнэ. $$N=1009!\cdot 2019!\cdot3029!\cdot1010!\cdot2020!\cdot3030!$$ тоо бүтэн квадрат (бүхэл тооны квадрат) болж чадах уу?


2. Дөрвөлжин шугамтай дэвтрийн цаасан дээр зурагт үзүүлсний адил 25 цэг тэмдэглэв. $A$, $B$ цэгүүдийг дараах нөхцөлүүд биелэдэг байхаар тэнцүү урттай 4 хэрчмээр холбо.
  1. Хэрчим бүрийн төгсгөлийн цэгүүд тэмдэглэгдсэн цэгүүд дээр оршино.
  2. Аль ч хэрчмийн дотор тэмдэглэгдсэн цэг байхгүй.
  3. Аль ч хөрш хэрчмүүд (ерөнхий төгсгөлтэй хэрчмүүд) нэг шулуун дээр оршихгүй.


3. $1,2,3,\ldots,49,50$ тоонуудыг хэсэг бүрийн тоонуудынх нь үржвэр 9-д хуваагддаг байхаар 11 хэсэгт хувааж болох уу?


4. $1,2,3,\ldots,2019$ тоонуудыг аль ч дараалан бичигдсэн 10 тооны нийлбэр нь 10-д хуваагддаг байхаар нэг мөрөнд жагсаан бичиж болохгүйг батал.