Дүүрэг 2019, 11-р анги

Дүүрэг 2019, 11-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 210 мин


1. $x$, $y$, $z$ дурын бодит тоонууд бол $$f(x,y,z)=\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+(x-y)^2}+\sqrt{2+(y-z)^2}+\sqrt{2+(2-z)^2}$$ илэрхийллийн авч болох хамгийн бага утгыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. $A(0,0)$, $B(\sqrt{2},x)$, $C(2\sqrt{2},y)$, $D(3\sqrt{2},z)$, $E(4\sqrt{2},2)$ тахир шугамын урт хамгийн багадаа хэдтэй тэнцэх вэ?

Бодолт.
Гурвалжны тэнцэтгэл бишээр $$AB+BC+CD+DE\ge AE$$ байна. Нөгөө талаас $AB=\sqrt{2+x^2}$, $BC=\sqrt{2+(x-y)^2}$, $CD=\sqrt{2+(y-z)^2}$, $DE=\sqrt{2+(2-z)^2}$ тул $$f(x,y,z)=AB+BC+CD+DE$$ тул хамгийн бага утга нь $B$, $C$, $D$ цэгүүд $AE$ хэрчим дээр орших үед $AE=\sqrt{2^2+(4\sqrt2)^2}=6$ байна. Энэ үед $x=\dfrac12$, $y=1$, $z=\dfrac32$ байна.


2. Бүхэл тоо бүрийг улаан эсвэл хөх өнгийн аль нэгээр дурын аргаар будахад өгөгдсөн $k$ натурал тоонд хуваагддаг, ижил өнгийн төгсгөлгүй олон тоо олдохыг батал.

Заавар Бодолт
Заавар. Төгсгөлгүй олонлогийн элементүүдийг дурын аргаар хоёр хэсэгт хуваахад аль нэг хэсэгт нь төгсгөлгүй олон элемент орно.

Бодолт. $kn$, $n\in\mathbb Z$ хэлбэрийн тоо төгсгөлгүй олон байна. Эдгээрийг хоёр өнгөөр будахад аль нэг хэсэгт нь төгсгөлгүй олон тоо орно. Эдгээр нь нэг өнгийн, $k$ тоонд хуваагддаг, төгсгөлгүй олон тоо болно.


3. $\dfrac{2a^2+3b^2}{2a+3b}$ бүхэл тоо байдаг бүх $(a,b)$ гэсэн харилцан анхны натурал тоон хосыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. $2a^2+3b^2=(2a+3b)(a+b)-5ab$ болохыг ашигла.

Бодолт. $2a^2+3b^2=(2a+3b)(a+b)-5ab$ тул $$\dfrac{2a^2+3b^3}{2a+3b}\in\mathbb Z\Leftrightarrow\dfrac{5ab}{2a+3b}\in\mathbb Z$$ болно.

$(a,2a+3b)=(a,3b)=1\lor 3$ бөгөөд $(b,2a+3b)=(b,2a)=1\lor 2$ болно. Дараах тохиолдлуудыг авч үзье.
  1. $3\nmid a$, $2\nmid b$ байг. Тэгвэл $2a+3b\mid 5\Rightarrow a=b=1$.
  2. $a=3m$, $2\nmid b$ байг. Тэгвэл $2a+3b=6m+3b\mid 5\cdot 3=15\Rightarrow 2m+b\mid 5$ болж $b=1$, $m=2$ ба $a=6$ болно.
  3. $b=2n$, $3\nmid a$ байг. Тэгвэл $2a+3b=2a+6n\mid 5\cdot 2=10\Rightarrow a+3n\mid 5$ болж $a=2$, $n=1$ ба $b=2$ болно. Гэвч энэ нь $(a,b)=1$ гэдэгт зөрчинө.
  4. $a=3m$ ба $b=2n$ байг. Тэгвэл $2a+3b=6m+6n\mid 5\cdot 3\cdot2\Rightarrow m+n\mid 5$ болно. Эндээс $(m,n)=(1,4)$, $(2,3)$, $(3,2)$, $(4,1)$ ба эдгээрт харгалзан $(a,b)=(3,8)$, $(6,6)$, $(9,4)$, $(12,2)$ болно. $(a,b)=1$ байх ёстой. Иймд $(a,b)=(3,8)$, $(9,4)$ гэсэн шийдүүд олдоно.



4. $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $\measuredangle B=90^\circ$ болно. $AA_1$ ба $CC_1$ биссектрисууд $I$ цэгт огтлолцоно. $C_1$ цэгийг дайрсан $AA_1$-д перпендикуляр шулуун ба $A_1$ цэгийг дайрсан $CC_1$-д пердендикуляр шулуун $K$ цэгт огтлолцдог бол $KI$ хэрчмийн дундаж цэг $AC$ хэрчим дээр оршихыг батал.

Заавар Бодолт
Заавар.
$KC_1\cap AC=M$, $KA_1\cap AC=N$ болог. $MINK$ нь параллелограмм гэж батлахад хангалттай.

Бодолт. $C_1AM$ адил хажуут гурвалжин бөгөөд (биссектрис ба өндөр нь давхацсан) $C_1IM$ мөн $C_1M$ суурьтай адил хажуут гурвалжин болно. $$\measuredangle AC_1I=\measuredangle AC_1C=180^\circ-\alpha-\dfrac{\gamma}{2}=90^\circ+\dfrac{\gamma}{2},\ \measuredangle AC_1M=90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}\Rightarrow$$ $$\measuredangle AIC_1=\measuredangle AC_1C-\measuredangle AC_1M=90^\circ+\dfrac{\gamma}{2}-90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}=45^\circ$$ Иймд $\measuredangle CIM=90^\circ\Rightarrow MI\parallel KA_1$. Үүнтэй адилаар $NI\parallel C_1K$ болно. Эндээс $MINK$ параллелограмм болох тул $IK$ хэрчмийн дундаж цэг нь $MN$ хэрчимд агуулдана. Иймд $IK$ хэрчмийн дундаж цэг нь мөн $AC$ дээр оршино.