Дүүрэг 2019, 5-р анги

Дүүрэг 2019, 5-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 120 мин


1. $123456789$-өөр эхлээд $987654321$-ээр төгсдөг бүхэл тооны квадрат болдог тоо олдох уу? (Тоог өөрийг нь өөрөөр нь үржсэн үржвэрийг бүтэн квадрат гэнэ.)

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $111111111^2=12345678987654321$


2. $2\times9$ хүснэгтийн дээд мөрний нүднүүдэд, 1-ээс 9 хүртэлх бүх цифрийг, доод мөрний нүднүүдэд мөн 1-ээс 9 хүртэлх бүх цифрийг тус тус бичжээ. Хэрэв аль ч баганад бичигдсэн 2 цифрийн нийлбэр натурал тооны квадрат байдаг бол ийм хүснэгтийг сайн хүснэгт гэе. Хэчнээн ялгаатай сайн хүснэгт зохиож болох вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. Цифр тус бүр дээр ямар цифр нэмэхэд бүтэн квадрат болж байгааг ажигла. Сайн хүснэгтийн хувьд дээд мөрийн тоонууд нь доод мөрийн тоонуудаа нэг утгатайгаар тодорхойлж байгаа.

Бодолт. Сайн хүснэгтийн хувьд доод мөрийн тоонууд нь дээд мөрийн тоонуудаас дараах хамааралтай болохыг шалгахад төвөгтэй биш. Хамаарлыг хүснэгтээр үзүүлбэл дараах хүснэгт гарна. Хүснэгтийн улаан тоонууд нь заавал бичигдэх ёстой тоонууд бөгөөд бусад тоонууд нь улаан тоонуудыг ашиглахгүй тохиолдолд мөн л цор ганц боломжтой болохыг шалгаж болно. Жишээ нь 1-ийн дор 3-ийг бичих боломжгүй тул зөвхөн 8-ийг бичнэ.
Эндээс сайн хүснэгтийн тоо дээд мөрийг хэчнээн ялгаатай аргаар бичиж болох тоотой тэнцүү буюу $9!$ байна.
Дээд мөр $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$
Доод мөр $8$ $2$ $6$ $\color{red}{5}$ $\color{red}{4}$ $\color{red}{3}$ $9$ $1$ $\color{red}{7}$



3. 5А анги 27 сурагчтай боловч урлагийн үзлэгт зарим сурагч ирсэнгүй. Багш ирсэн охидын $\dfrac13$ ба хөвгүүдийн хагасыг найрал дуунд, ирсэн охидын хагас ба хөвгүүдийн $\dfrac14$-ийг бүжгийн тэмцээнд оролцуулахаар болжээ. Үлдсэн хүүхдүүд уран уншлагын тэмцээнд оролцсон бөгөөд ирсэн хүүхэд бүр зөвхөн нэг төрөлд оролцов. Хэрэв найрал дууны тэмцээн, бүжгийн тэмцээнд оролцсон хүүхдүүдийн тоо тэнцүү бол уран уншлагын тэмцээнд хэдэн хүүхэд оролцсон байж болох вэ?


4. $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$ хэмжээтэй 3 төрлийн квадратуудаас, төрөл бүрээс тэнцүү тоотой оролцуулан хийж болдог, хамгийн жижиг квадрат байгуул.

Заавар Бодолт
Заавар. Квадрат тус бүр ижил тоотой орох тул квадратын нүдний тоо $1+4+9=14$-д хуваагдах ёстой.

Бодолт. Квадратын нүдний тоо 14-д хуваагдах тул талын урт нь мөн 14-д хуваагдах шаардлагатай. Учир нь 14-нь ямар нэг тооны квадратад хуваагдахгүй. Иймд хамгийн бага квадрат нь 14 болохыг жишээгээр харуулъя.