Орчлон 2019, 12-р анги   

1. $a_1+1,a_2+2,\ldots,a_{2019}+2019$ нийлбэрүүд нь бүгд анхны тоо байх $1,2,\ldots,2019$ тоонуудын $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$ гэсэн сэлгэмэлийн тоо бүтэн квадрат гэдгийг батал.

2. $\alpha\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ бол $n>m$ байх ямар ч натурал $m,n$ тоонуудын хувьд $$2|\sin^nx-\cos^nx|\le3|\sin^mx-\cos^mx|$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

3. Натурал $k$ тоо, хамгийн бага анхны тоон хуваагчид нь $k$-аас их байдаг натурал $m$, $n$ тоонууд өгөгджээ. $m^m-n^n$ ялгавар $k!$-д хуваагддаг бол $m-n$ ялгавар $k$-д хуваагдахыг батал.

4. $I$ цэгт төвтэй тойргийг багтаасан $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгджээ. $[BA)$, $[CD)$ цацрагууд $P$ цэгт, $[AD)$, $[BC)$ цацрагууд $Q$ цэгт тус тус огтлолцоно. Дөрвөн өнцөгтийн хавтгай дээр орших $K$ цэгийн хувьд $\angle IKP=\angle IKQ$ бол $\angle IKA=\angle IKC$ байхыг батал.